\(<G,.>\)
een groep zijn, \(H\)
een deelgroep en \(Hx\)
een rechtse nevenklasse in \(G\)
modulo \(H\)
. De rechtse nevenklassen \({ \{ Hx \} }_{x \in G}\)
vormen een partitie van \(G\)
.Dan staat er in mijn cursus de volgende uitspraak: Ze bepalen daarom een equivalentierelatie nl.
\(x \ \ { \sim }_R \ \ y \Leftrightarrow x\)
en \( y\)
behoren tot dezelfde nevenklasse \( \Leftrightarrow xy^{-1} \in H \Leftrightarrow Hx = Hy\)
Intuïtief begrijp ik dit wel, maar ik zit met het volgende:Elke groep, dus ook
\(Hx\)
heeft per definitie een neutraal element. En een equivalentierelatie is reflexief. Dus geldt: \(x \ \ { \sim }_R \ \ x \)
maar \(xx^{-1}\)
moet toch het neutraal element zijn van \(Hx\)
en kan dan toch niet in \(H\)
zitten?
