\(y''(x)+2xy'(x)+4y=e^x\)
met y(0)=1 en y'(0)=0.Ik stop er dus een machtreeks
\(y(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n x^n\)
in. Dan kom ik op
\(\sum_{n=0}^\infty (n+2)(n+1)a_{n+2}x^n+2\sum_{n=0}^\infty na_n x^n+4\sum_{n=0}^\infty a_n x^n=\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}\)
oftewel
\((n+2)(n+1)a_{n+2}+(4+2n)a_n-\frac{1}{n!}=0\)
Dus ik heb de recurrente betrekking \(a_{n+2}=\frac{1}{(n+2)(n+1)}\left(\frac{1}{n!}-(4+2n)a_n\right)\)
De voorwaarden leveren \(y(0)=a_0=1, y'(0)=a_1=0\)
Normaal gesproken zorgt zo'n voorwaarde als a_1=0 ervoor dat de oneven reeks wordt afgekapt, en je alleen nog maar de even termen overhoudt. Nu gebeurt dat dus niet, vanwege de faculteit die niet gepaard gaat met een a_i. Ik zie dus niet in wat ik nu nog kan.Doe ik iets fout, of gaat het goed en kan ik wel degelijk iets met de recurrente betrekking doen?
Bedankt!
