Bepaal in de vorm van een machtreeks de oplossing van het beginwaardeprobleem
\(y''(x)+2xy'(x)+4y=e^x\)
met y(0)=1 en y'(0)=0.
Ik stop er dus een machtreeks
\(y(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n x^n\)
in.
Dan kom ik op
\(\sum_{n=0}^\infty (n+2)(n+1)a_{n+2}x^n+2\sum_{n=0}^\infty na_n x^n+4\sum_{n=0}^\infty a_n x^n=\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}\)
oftewel
\((n+2)(n+1)a_{n+2}+(4+2n)a_n-\frac{1}{n!}=0\)
Dus ik heb de recurrente betrekking
\(a_{n+2}=\frac{1}{(n+2)(n+1)}\left(\frac{1}{n!}-(4+2n)a_n\right)\)
De voorwaarden leveren
\(y(0)=a_0=1, y'(0)=a_1=0\)
Normaal gesproken zorgt zo'n voorwaarde als a_1=0 ervoor dat de oneven reeks wordt afgekapt, en je alleen nog maar de even termen overhoudt. Nu gebeurt dat dus niet, vanwege de faculteit die niet gepaard gaat met een a_i. Ik zie dus niet in wat ik nu nog kan.
Doe ik iets fout, of gaat het goed en kan ik wel degelijk iets met de recurrente betrekking doen?
Bedankt!
Never express yourself more clearly than you think.
- Niels Bohr -