Equivalente rijen
-
- Berichten: 96
Equivalente rijen
Ik heb volgende stelling met bewijs :
\( Stel (X,d) een\ metrische\ ruimte,\ x \in X\ en\ (x_{n})_{n}\ en\ (y_{n})_{n}\ twee\ equivalente\ rijen\ in\ X.\ Dan\ geldt : x_{n} \rightarrow x \Longleftrightarrow y_{n} \rightarrow x. \)
Bewijs :\(Stel\ x_{n} \rightarrow x;\ en\ stel \epsilon >0.\ \exists n_{0} : \forall n \geq n_{0} : d(x,x_{n}) \leq \frac{\epsilon}{2}.\ Ook \ \exists n_{1} : \forall n \geq n_{1} : d(x_{n},y_{n}) \leq \frac{\epsilon}{2}\)
Vanwaar komt deze laatste stap ?- Berichten: 24.578
Re: Equivalente rijen
Wat is de gehanteerde definitie van equivalente rijen?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Berichten: 7.068
Re: Equivalente rijen
Ik neem aan:Wat is de gehanteerde definitie van equivalente rijen?
\( \forall (\varepsilon >0) \exists n_{0} \forall n\geq n_{0}: d(x_{n},y_{n})<\varepsilon \)
- Berichten: 24.578
Re: Equivalente rijen
Bij jou ook zo gedefinieerd, LiesbethDN? Dan volgt die laatste stap rechtstreeks uit de definitie, waarin e/2 gekozen wordt.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Berichten: 96
Re: Equivalente rijen
De definitie die wij hanteren is volgende :
Maar dit komt natuurlijk op hetzelfde neer.
Bedankt !
\(d(x_{n},y_{n}) \rightarrow 0\)
Maar dit komt natuurlijk op hetzelfde neer.
Bedankt !
- Berichten: 24.578
Re: Equivalente rijen
Graag gedaan. Door n max{n0,n1} te nemen kan je nu beide afschattingen gebruiken om te tonen dat ook y(n) naar x convergeert.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Berichten: 96
Re: Equivalente rijen
Dat is ook wat verder in het bewijs gebeurde.
Ik begreep gewoon totaal niet waar die ene stap vandaan kwam. Misschien moet ik eerst even leren verder kijken dan mijn neus lang is vooraleer ik begin te panikeren
Ik begreep gewoon totaal niet waar die ene stap vandaan kwam. Misschien moet ik eerst even leren verder kijken dan mijn neus lang is vooraleer ik begin te panikeren
- Berichten: 24.578
Re: Equivalente rijen
Dat is sowieso een beter idee dan panikerenIk begreep gewoon totaal niet waar die ene stap vandaan kwam. Misschien moet ik eerst even leren verder kijken dan mijn neus lang is vooraleer ik begin te panikeren
Dit werkt niet 'soms', maar heel vaak: keer terug naar je definities...!
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)