Springen naar inhoud

Voorbeelden bepaalde ruimten


  • Log in om te kunnen reageren

#1

LiesbethDN

    LiesbethDN


  • >25 berichten
  • 96 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 07 juni 2008 - 08:38

Ik ben op zoek naar een voorbeeld van volgende ruimten :
  • een begrensde ruimte
  • een niet begrensde ruimte
  • een ruimte die rijencompact is
  • en een ruimte die dat niet is
Alvast bedankt !

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 07 juni 2008 - 09:11

Heb je nergens een idee? De eerste twee lijken alvast erg gemakkelijk.

LaTeX

LaTeX

LaTeX

LaTeX

Probeer zelf voor deze vier verzamelingen eens te beredeneren of ze begrensd en/of compact zijn.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#3

LiesbethDN

    LiesbethDN


  • >25 berichten
  • 96 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 07 juni 2008 - 09:28

Ik denk dat het zo wel moet kloppen :

A is onbegrensd en niet compact.
B is begrensd en compact.
C is niet begrensd en niet compact
D is begrensd maar over compact of niet compact zijn ben ik nog niet uit.

Ik vind het gewoon heel moeilijk om a.h.v. een nogal abstracte definitie een concreet voorbeeld te vinden.
De definitie van (rijen)compact is bijvoorbeeld dat iedere rij een convergente deelrij heeft, maar ik slaag er meestal in om in die gevallen een uitzondering te vinden waarvoor de definitie geld, maar terwijl ze in het algemeen eigenlijk niet geld en zo van die dingen.
Het begrensd zijn is wel duidelijk, het is alleen weer de definitie die mij niet ligt, Iets met een bol waar de verzameling volledig moet in liggen. Als ik er logisch over nadenk lukt het wel, maar eens die definitie op de proppen komt loopt het meestal fout.

#4

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 07 juni 2008 - 09:40

Heb je geen equivalentie karakterisaties gezien voor die begrippen? Die zijn vaak makkelijker om mee te rederenen.

Bijvoorbeeld: begrensd indien naar onder en naar boven begrensd (1D). B en D zijn duidelijk begrensd, A en C niet.

(Rij)compact indien de metrische ruimte gesloten en begrensd is. Dat maakt enkel verzameling D compact...
Bij B: bekijk de rij u(n) = 1/n. Deze zit wel volledig in B, maar convergeert niet in B (want convergeert naar 0).
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#5

LiesbethDN

    LiesbethDN


  • >25 berichten
  • 96 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 07 juni 2008 - 09:46

Dat hoofdstuk waar die begrippen in voorkomen is maar eventjes aangehaald, dus we hebben enkel formele definities gezien en geen equivalente karakterisaties, zoals bij veel van de andere begrippen wel het geval was.

De karakterisatie die jij aangeeft voor compact is wel beter te begrijpen en te controleren bij een verzameling dan degene die wij gezien hebben. Ik zal eens proberen nog meer voorbeelden te zoeken a.h.v. deze karakterisatie.

Alvast bedankt voor het snelle antwoord en sorry voor de misschien nogal domme vraag.

#6

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 07 juni 2008 - 09:54

Alvast bedankt voor het snelle antwoord en sorry voor de misschien nogal domme vraag.

Graag gedaan en geen domme vraag.

Aanvulling bij B: als we nu B' = B U {0} beschouwen, verandert er dan iets?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#7

LiesbethDN

    LiesbethDN


  • >25 berichten
  • 96 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 07 juni 2008 - 11:48

B' blijft uiteraard begrensd, en ik geloof dat de verzameling nu wel compact is, omdat de 0 erbij in zit en dus de rijen binnen de verzameling wel naar nul kunnen convergeren.
Of is dit een foute redenering ?

#8

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 07 juni 2008 - 11:49

Klopt, B' is nu wel compact (want gesloten en begrensd, of: rijen hebben een convergente deelrij binnen B').

Nu lukt het misschien ook om zelf wat andere voorbeelden te verzinnen?
Van: niet begrensd (dus ook niet compact), begrensd maar niet compact, compact.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#9

LiesbethDN

    LiesbethDN


  • >25 berichten
  • 96 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 07 juni 2008 - 12:12

Niet begrensd zoizo LaTeX etc en ook al hun oneindige deelverzamelingen.

Begrensd alle gesloten verzamelingen en bijvoorbeeld ook LaTeX

Deze laatste verzameling is gesloten (want haar afsluiting is gelijk aan de verzameling zelf) en ook begrensd, dus ook compact. Een voorbeeld van een rij die dan convergeert in X is de LaTeX (denk ik) (Met LaTeX natuurlijk buiten beschouwing gelaten.)

Klopt dit, of ben ik onzin aan het uitkramen ?

#10

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 07 juni 2008 - 12:23

Niet begrensd zoizo LaTeX



Deze laatste verzameling is gesloten (want haar afsluiting is gelijk aan de verzameling zelf) en ook begrensd, dus ook compact. Een voorbeeld van een rij die dan convergeert in X is de LaTeX (denk ik) (Met LaTeX natuurlijk buiten beschouwing gelaten.)

Als ik je notatie goed begrijp, bevat X alle natuurlijke getallen tot en met 10, dus: X = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}. Eventueel ook nog 0, als je dat bij :D telt. Maar dan zit de rij x(n) = 1/n niet in X, voor n>1.
Merk ook op dat het geven van een convergente rij in een ruimte natuurlijk geen bewijs is voor compactheid. Omgekeerd kan je wel met een tegenvoorbeeld (een rij geven zonder convergente deelrij) aantonen dat een ruimte niet compact is.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#11

LiesbethDN

    LiesbethDN


  • >25 berichten
  • 96 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 07 juni 2008 - 12:49

Ja, ik had er te laat aan gedacht dat mijn voorbeeld niet echt een topvoorbeeld was. Met een oneindige deelverzameling bedoelde ik bijvoorbeeld alle even/oneven getallen in LaTeX .

Klopte het niet dan dat ik zei dat de verzameling X die ik gedefinieerd had gesloten en begrensd is ? Of begrijp ik je nu even verkeerd.

#12

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 07 juni 2008 - 13:12

Ja, ik had er te laat aan gedacht dat mijn voorbeeld niet echt een topvoorbeeld was. Met een oneindige deelverzameling bedoelde ik bijvoorbeeld alle even/oneven getallen in Bericht bekijken

Klopte het niet dan dat ik zei dat de verzameling X die ik gedefinieerd had gesloten en begrensd is ? Of begrijp ik je nu even verkeerd.

Je verzameling is inderdaad gesloten en begrensd, maar de rij x(n) die je als voorbeeld gaf zat niet in X.
Immers, X = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} (eventueel met 0) en x(n) = 1, 1/2, ... Buiten 1, zitten die niet in X.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#13

LiesbethDN

    LiesbethDN


  • >25 berichten
  • 96 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 07 juni 2008 - 13:22

Ik dacht dat met een oneindige deelverzameling bedoeld werd een verzameling zonder supremum en/of infimum.

#14

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 07 juni 2008 - 13:27

Dat kan best zijn (kwestie van definitie, afspraak), het was net mijn vraag wat je daar precies mee bedoelde...
Als je hetzelfde als onbegrensd bedoelt, dan is het logisch dat een "oneindig deelverzameling" niet begrensd is :D

Ik wou hierbij maar waarschuwen voor het feit dat een oneindig aantal elementen, niet impliceert dat de verzameling onbegrensd is (denk aan een gesloten reŽel interval). Omgekeerd geldt wel dat je bij een eindig aantal elementen, steeds met een begrensde verzameling zit.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#15

LiesbethDN

    LiesbethDN


  • >25 berichten
  • 96 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 07 juni 2008 - 13:33

Ik kan het niet zo goed onder woorden brengen, maar ik bedoel met een ongebrensde verzameling niet hetzelfde als met een verzameling met oneindig aantal elementen :D

Begrensd bedoel ik mee (misschien nogal redelijk chaotisch opgeschreven nu, en ik denk dat dat de beste manier is om het onder woorden te brengen) dat je een bepaald getal kan geven en kan zeggen "alle waarden van de verzameling blijven kleiner dan dit getal". Zoals bijvoorbeeld bij een gesloten interval in LaTeX .





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures