Hallo,
Ik zit al een tijdje vast bij een vraag over exponentiele verdeling.
de oefening : Ik heb een machine die defecten vertoont met een gemiddelde tijd tussen de defecten van 4 dagen.
dus lambda = 0.25
wat is de kans dat er zich binnen 4 dagen 2 defecten voordoen.
ik weet niet hoe deze kans uit te rekenen
en zie nergens de mogelijkheid om een aantal defecten uit te halen... in de exponentieelverdeling staat toch enkel een tijd en lambda?
kan iemand mij verder helpen?
groeten
Laatste berichten
-
11:59
do-re-mi-fa-so vliegtuigen 3
-
11:32
[scheikunde] Kan chloorgas de geleiding van elektriciteit belemmeren? 6
-
11:31
geen minkowski-ruimte toch? Doe ik dit nou fout? 14
-
10:42
projectiel 8
-
10:37
Verschil tussen deze 2 vragen 5
-
09:48
Schroefdraad berekening 4
-
09:25
[scheikunde] berekeningen labo vitamine c bepaling 1
-
19:29
[wiskunde] rode en witte ballen verdelen 8
-
17:23
Rotatie van het heelal 41
-
22 apr
Weerfrustratie 5
-
22 apr
Muntje opgooien 14
-
21 apr
Reactiviteit silyl enol ethers 1
-
21 apr
Criterium voor vochtretentie
-
21 apr
speciale rel. theorie 5
-
21 apr
Vogels in de stad zijn goede klussers
-
21 apr
Ervaringen met "herontdekkingen" 15
-
20 apr
Herleiden afmetingen vanaf een foto 19
-
20 apr
Stank rotte eieren uit de warmwaterboiler 11
-
20 apr
Nut warmtepomp 18
-
20 apr
Airco bevriezings kans berekenen. 17
Nieuwsberichten
-
04 mar
Een nieuw soort magnetisme: altermagnetisme
-
31 okt
AI kan via stem diabetes vaststellen 11
-
21 okt
Einstein krijgt wéér gelijk 45
-
07 feb
witter dan wit 20
-
19 jun
irrigatie en de aardas
Exponentiele verdeling
-
- Berichten: 5.679
Re: Exponentiele verdeling
De exponentiële kansverdeling heeft niet zozeer betrekking op een aantal defecten, maar op de tijd tot het eerstvolgende defect.
De kans dat het eerste defect binnen x dagen optreedt, oftewel dat zich binnen x dagen een defect voordoet, is:
De kans dat de eerste twee defecten binnen x dagen optreden, oftewel dat er zich binnen x dagen twee defecten voordoen, is:
Als het gaat om de kans dat er precies twee defecten (dus niet meer) binnen 4 dagen optreden, dan moet je op soortgelijke wijze de kans bepalen dat de eerste 3 defecten binnen 4 dagen optreden, en dat er vanaf trekken.
De kans dat het eerste defect binnen x dagen optreedt, oftewel dat zich binnen x dagen een defect voordoet, is:
\(\pp[X\leq x] = F(x)=\int_0^x f(t) dt = \int_0^x \lambda e^{-\lambda t} dt = 1-e^{-\lambda t}\)
f(t) is hierbij de exponentiële kansdichtheidsfunctie, \(f(t)=\lambda e^{-\lambda t}\)
, en F(t) de verdelingsfunctie.De kans dat de eerste twee defecten binnen x dagen optreden, oftewel dat er zich binnen x dagen twee defecten voordoen, is:
\(\int_0^x f(t)\cdot F(x-t) dt = \int_0^x \lambda e^{-\lambda t}(1-e^{\lambda(t-x)}) dt\)
Als je dat laatste uitwerkt en \(\lambda=\frac14\)
en x=4 invult, dan komt er \(1-\frac{2}{e}\)
uit.Als het gaat om de kans dat er precies twee defecten (dus niet meer) binnen 4 dagen optreden, dan moet je op soortgelijke wijze de kans bepalen dat de eerste 3 defecten binnen 4 dagen optreden, en dat er vanaf trekken.
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.
-
- Berichten: 220
Re: Exponentiele verdeling
Rogier schreef:De kans dat de eerste twee defecten binnen x dagen optreden, oftewel dat er zich binnen x dagen twee defecten voordoen, is:
\(\int_0^x f(t)\cdot F(x-t) dt = \int_0^x \lambda e^{-\lambda t}(1-e^{\lambda(t-x)}) dt\)hier volg ik je niet helemaalAls het gaat om de kans dat er precies twee defecten (dus niet meer) binnen 4 dagen optreden, dan moet je op soortgelijke wijze de kans bepalen dat de eerste 3 defecten binnen 4 dagen optreden, en dat er vanaf trekken.
als ik de kans wil weten op exact 2 dan doe ik toch (de kans op 2) - (kans op 1 of minder)?
bedankt voor je reactie!
-
- Berichten: 220
Re: Exponentiele verdeling
Ik moet zeggen dat ik hier weldra examen van heb dus als iemand iets weet, zeg het dan snel!
groeten
groeten
-
- Berichten: 5.679
Re: Exponentiele verdeling
Noem Xn de tijd die het duurt tot het n-de defect.Wat is dan de systematiek? maw wat moet ik nu doen als ik wil weten wat de kans is dat er zich drie defecten voordoen? ik zie het nog niet
\(\pp[X_1\leq x]\)
bepaal je (zoals bij iedere kansverdeling) door de integraal van de kansdichtheid te nemen over 0..xOftewel:
\(\pp[X_1\leq x] = \int_0^x f(t)\ dt\)
, dat begrijp je? (f(t) is gewoon de kansdichtheid van de exponentiële verdeling)Om
\(\pp[X_2\leq x]\)
te bepalen neem je de integraal over 0..x voor de tijd t die het duurt tot het eerste defect, maal de integraal over 0..x-t die het duurt voor het tweede defect. Want als bijvoorbeeld het eerste defect 3 seconde op zich laat wachten, moet het tweede defect binnen 4-3=1 seconde plaatsvinden. De twee tijden mogen samen hoogstens 4 seconde zijn.Dus
\(\pp[X_2\leq x] = \int_0^x f(t) \left( \int_0^{x-t} f(u)\ du \right) dt\)
Op dezelfde wijze kun je ook de kansverdeling voor X3 bepalen, dat gaat dus met 3 integralen:\(\pp[X_3\leq x] = \int_0^x f(t) \left( \int_0^{x-t} f(u) \left( \int_0^{x-t-u} f(v)\ dv \right) du \right) dt\)
t is hierbij de tijd tot het eerste defect, dat mag maximaal x seconden duren, u is vervolgens de tijd tot het tweede defect, dat mag maximaal x-t seconden duren, en v is de tijd tot het derde defect, dat mag maximaal x-t-u seconden duren.Die laatste integraal in beide uitdrukkingen kun je vervangen door een enkelvoudige kans, want
\(\int_0^{x-t} f(u)\ du = \pp[X_1\leq x-t]\)
en \(\int_0^{x-t-u} f(v)\ dv = \pp[X_1\leq x-t-u]\)
, maar bovenstaande is misschien duidelijker.Overigens kun je dit ook oplossen met de Gamma-verdeling, de som van meerdere onafhankelijke gelijkverdeelde exponentiële stochasten is Gamma-verdeeld.
Nee, let op, met diehier volg ik je niet helemaal
als ik de kans wil weten op exact 2 dan doe ik toch (de kans op 2) - (kans op 1 of minder)?
\(\pp[X_n\leq x]\)
bepaal je de kans dat het n-de defect voor tijdstip x plaatsvindt. Met andere woorden, dat er dus minstens n defecten voor tijdstip x plaatsvinden. Dat het n-de defect hoogstens x seconden op zich laat wachten, sluit niet uit dat er daarna in de resterende tijd nog meer defecten kunnen optreden.\(\pp[X_n\leq x]\)
= de kans dat er 
n defecten in x seconden plaatsvinden.\(\pp[X_{n+1}\leq x]\)
= de kans dat er 
n+1 defecten in x seconden plaatsvinden.Conclusie:
\(\pp[X_n\leq x] - \pp[X_{n+1}\leq x]\)
= de kans dat er precies n defecten in x seconden plaatsvinden.In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.
-
- Berichten: 220
Re: Exponentiele verdeling
Wow, ik dacht dat niets sneller kon dan het licht, Rogier blijkbaar wél.(wedstrijd tussen jij en TD?)
Dus de integraal van de kansdichtheisfunctie is de cumulatieve kansverdeling F
dan is voor 3 defecten : int(f(x)*F(x-t)*F(x-t-u)) deze integraal van 0 tot x
Ok, zo is het heel wat duidelijker, nog evan wat nadenken en ik heb het beet. Bedankt voor je snelle reactie.
Groeten
Dus de integraal van de kansdichtheisfunctie is de cumulatieve kansverdeling F
dan is voor 3 defecten : int(f(x)*F(x-t)*F(x-t-u)) deze integraal van 0 tot x
Je hebt gelijk.Rogier schreef:\(\pp[X_n\leq x]\)= de kans dat er
\(\pp[X_{n+1}\leq x]\)= de kans dat er
Conclusie:\(\pp[X_n\leq x] - \pp[X_{n+1}\leq x]\)= de kans dat er precies n defecten in x seconden plaatsvinden.
Ok, zo is het heel wat duidelijker, nog evan wat nadenken en ik heb het beet. Bedankt voor je snelle reactie.
Groeten
