Springen naar inhoud

[ wiskunde ] twee beweringen


  • Log in om te kunnen reageren

#1

NinaNina

    NinaNina


  • 0 - 25 berichten
  • 8 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 21 juni 2008 - 13:08

hallo,

Ik heb hier een tijdje geleden ook al iets gepost, dat was nogal vaag en zo. Dus ik ga het nog een keer proberen. van de 7 beweringen die ik in eerste instantie had zijn er slechts 2 over waar ik niet helemaal uit kom. de vraag is dus of ze waar zijn of niet waar en waarom dan.

De eerste bewering is:
'Het getal 10013 is het kleinste natuurlijke getal dat op twee verschillende manieren te ontbinden is in priemgetallen: 17 x 589 en 19 x 527'

Ik heb simpelweg geen flauw idee hoe ik dit aan kan pakken, hebben jullie tips? Vermoedens? Manieren om dit op te lossen?

De tweede bewering is de volgende:
Voor elk natuurlijk getal n geldt: ( 1 + 2 + 3 + 4 + ... + n )² = 1³ + 2³ + 3³ + 4³ + … + n³




Voor de eerste vijf termen geldt dit dus wel. Nu moet ik nog bewijzen dat dit altijd geldt.
1 2 3 4 … n n+1
1 1 2 3 4 … n n+1
2 2 4 6 8 … 2n 2n+1
3 3 6 9 12 … 3n 3n+1
4 4 8 12 16 … 4n 4n+1
… … … ... … … …n …n+1
n n 2n 3n 4n …n n² n²+1
n+1 n+1 2n+1 3n+1 4n+1 …n+1 n²+1 (n+1)(n+1)


((n+1) + n)² = (n+1)³ + n³

n +1
n n² 1n
+1 1n 2

Hierboven staan twee tabellen die ik heb gemaakt, ik heb dit samen met mijn wiskundedocent al gedaan, alleen ik ben de clou vergeten. Als iemand me hier mee kan helpen, zou dat geweldig zijn.


Alvast bedankt.
Nina

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24051 berichten
  • VIP

Geplaatst op 21 juni 2008 - 13:12

Voor de tweede vraag: dit kan je bewijzen door (volledige/natuurlijk) inductie, ken je dat?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#3

EvilBro

    EvilBro


  • >5k berichten
  • 6703 berichten
  • VIP

Geplaatst op 21 juni 2008 - 13:16

De eerste bewering is:
'Het getal 10013 is het kleinste natuurlijke getal dat op twee verschillende manieren te ontbinden is in priemgetallen: 17 x 589 en 19 x 527'

Onderzoek eens of 589 en 527 wel priemgetallen zijn...

#4

NinaNina

    NinaNina


  • 0 - 25 berichten
  • 8 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 21 juni 2008 - 13:23

Nu al heel erg bedankt!

Inductie ken ik niet, in ieder geval de naam niet. Wellicht ken ik het wel als ik het zie, maar ik denk van niet. (Ik ben niet zo'n ster in wiskunde, verder is dit wiskunde B, en dat heb ik niet eens, ook heel handig).

En @EvilBro.. Wauw! Had ik nog nooit over negedacht, maar je hebt gelijk. het zijn beide geen priemgetallen (heb een site waarop je dat heel snel kunt zien). Denk je dat ik nu dan kan zeggen dat de hele bewering niet klopt? Omdat het geen priemgetallen zijn?

#5

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24051 berichten
  • VIP

Geplaatst op 21 juni 2008 - 13:25

Inductie ken ik niet, in ieder geval de naam niet. Wellicht ken ik het wel als ik het zie, maar ik denk van niet. (Ik ben niet zo'n ster in wiskunde, verder is dit wiskunde B, en dat heb ik niet eens, ook heel handig).

Inductie samengevat:
- toon aan dat de gelijkheid geldt voor een beginwaarde (gewoonlijk n = 0 of n = 1),
- toon aan dat als de gelijkheid geldt voor n = k, dan ook geldig voor n = k+1.

Klinkt bekend? Dat lijkt me hier in elk geval de aangewezen methode.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#6

NinaNina

    NinaNina


  • 0 - 25 berichten
  • 8 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 21 juni 2008 - 13:28

Klinkt me wel bekend ja, dat is waarschijnlijk ook de reden dat ik de tabel heb gemaakt met n+1 erbij. Maar hoe dat te doen, heb je wellicht een soort stappenplan of zo voor me? (sorry, maar ik zit hier al heel lang mee te pielen).

Dankjewel.

#7

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24051 berichten
  • VIP

Geplaatst op 21 juni 2008 - 13:32

De eerste stap zal wel lukken (controleer eens voor n = 0 of n = 1).

We veronderstellen dat het nu geldt voor n = k, dus we nemen aan dat:

(1+2+...+k)² = 1²+2²+...+k³

We vragen ons nu af of het ook geldt voor n = k+1. Dus klopt het dat:

(1+2+...+k + k+1)² = 1²+2²+...+k³+(k+1)³ ?

Laten we de twee leden apart vergelijken:
- in het rechterlid kwam er precies (k+1)³ bij,
- toon dus aan dat dit links ook zo is...
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#8

NinaNina

    NinaNina


  • 0 - 25 berichten
  • 8 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 21 juni 2008 - 13:45

Hee,

Ik heb het eerste al gedaan. Ik heb bewezen dat (1+2+3+4+5)² hetzlefde is als 1³+2³+3³+4³+5³.
Namelijk allebei 225.

Dat tweede ga ik nog eens verder over nadenken.. (pff, valt niet mee zeg!)

Maar nu al heel erg bedankt.

Als je het eventueel nog zou kunnen verduidelijken (nogmaals excuses) zou ik dat nog beter vinden.

Hoe bewijs ik dat er links ook (k+1)³ bij kwam.. Is dat dan door het tegen elkaar weg te blijven strepen?

#9

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24051 berichten
  • VIP

Geplaatst op 21 juni 2008 - 13:51

Trek het kleinste lid van het grootste lid af, hier zou je ook (k+1)³ willen krijgen.
Je bekomt een verschil van twee kwadraten, pas daarop a²-b² = (a-b)(a+b) toe.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#10

Elke

    Elke


  • >250 berichten
  • 402 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 21 juni 2008 - 14:00

Ik ben Nina via msn ook aan het helpen, maar wiskunde is zo lang geleden voor mij dat ik er ook niet meer echt uit kom. Tot een bepaalde hoogte zijn we nu gekomen. We hebben (1+2+3+4+...+k)² uitgewerkt tot het volgende:
100 + 20 * ... + (...)² + (20 + 2 * ...) * k + k² = 1³ + 2³ + 3³ + 4³ + 20 * ... + (...)² + (20 + 2 * ...) * k + k².
Het lukt ons echter niet om te bewijzen dat: 20 * ... + (...)² + (20 + 2 * ...) * k + k² = (...)³ + k³
Dat zou namelijk het probleem voor k oplossen. Dan kunnen we daarna verder met k+1.
Destiny is but a word created by man to accept reality

#11

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24051 berichten
  • VIP

Geplaatst op 21 juni 2008 - 14:02

Wat je nog wil aantonen is dat het verschil tussen de linkerleden ook (k+1)³ is:

(1 + 2 + ... + k + k+1)² - (1 + 2 + ... + k)²

Dit is een 'verschil van twee kwadraten', je kan dit uitwerken via a²-b² = (a-b)(a+b).
Die a-b geeft precies al een factor k+1. Als nu die a+b nog eens (k+1)² zou worden :D
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#12

Elke

    Elke


  • >250 berichten
  • 402 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 21 juni 2008 - 14:22

Ik dacht eigenlijk dat we (als de bewering waar is) uit willen komen op een verschil van (k+1)³.
Maargoed, ik heb het uitgewerkt en kom op de volgende uitkomst (het verschil dus): 6(k+1) + 2...(k+1) + 2k(k+1) + (k+1)²
Niet echt (k+1)³... en het lukt mij ook niet om er dat van te maken... :D
Destiny is but a word created by man to accept reality

#13

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24051 berichten
  • VIP

Geplaatst op 21 juni 2008 - 14:25

(1 + 2 + ... + k + k+1)² - (1 + 2 + ... + k)² is van de vorm a²-b² met:

a = 1 + 2 + ... + k + k+1
b = 1 + 2 + ... + k

Dus: a-b = k+1 en a+b = 2(1 + 2 + ... + k) + k+1

Ken je de som 1 + 2 + ... + k?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#14

NinaNina

    NinaNina


  • 0 - 25 berichten
  • 8 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 21 juni 2008 - 14:30

Ik durf het haast niet te zeggen.. maar nee.. die ken ik niet. (pff, ik heb me wel eens intelligenter gevoeld)

#15

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24051 berichten
  • VIP

Geplaatst op 21 juni 2008 - 16:25

Ontbinden in factoren? Werk (a-b)(a+b) eventueel uit om in te zien dat dit inderdaad a²-b² is.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures