Springen naar inhoud

Een vallend stuk touw


  • Log in om te kunnen reageren

#1

dirkwb

    dirkwb


  • >1k berichten
  • 4173 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 23 juni 2008 - 20:32

Een touw (niet uitrekbaar) en een bal worden losgelaten op een bepaalde hoogte op een tijdstip t0. Op een tijdstip t1 is het touw getekend tevens wordt het stuk touw aan één uiteinde losgelaten. Wat is de verhouding van de tijd totdat ze de grond raken?

Luchtwrijving e.d. moeten buiten beschouwing worden gelaten.

1.PNG
Quitters never win and winners never quit.

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Jan van de Velde

    Jan van de Velde


  • >5k berichten
  • 44877 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 23 juni 2008 - 20:59

ongeveer 5 : 6 (waarbij het eind van het touw het snelst is)

Eerlijk zélf opgegoogled voor een touwtje van ca 1 m lengte. :D
En de wiskunde die erbij hoort mag je van me houden.......
ALS WIJ JE GEHOLPEN HEBBEN....
help ons dan eiwitten vouwen, en help mee ziekten als kanker en zo te bestrijden in de vrije tijd van je chip...
http://www.wetenscha...showtopic=59270

#3

BarryVos

    BarryVos


  • >25 berichten
  • 44 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 24 juni 2008 - 03:34

Ik doe een poging al weet ik de w nergens in het plaatje te passen.

Het dal van het touw beweegt half zo langzaam omlaag als het losgelaten uiteinde van het touw en de bal. Daar staat tegenover dat het dal van het touw al dichter bij de grond is dan de bal. De gezochte verhouding lijkt dus afhankelijk te zijn van de afstand van de grond tot het ophangpunt (welke we h noemen).
Er is sprake van constante acceleratie. Daarmee stellen we vast dat
LaTeX

De verhoudingLaTeX is
LaTeX
De verhouding LaTeX is dus
LaTeX
De wortel volgt uit de equivalentie tussen tijd en de wortel van de afstand bij constante acceleratie. De vermenigvuldiging met 2 volgt uit het gegeven dat het dal twee keer langzamer valt dan de bal.

Dat lijkt me opzich redelijk, ware het niet dat de w niet gebruikt wordt. Het zal dus ongetwijfeld fout zijn :D

#4

Jan van de Velde

    Jan van de Velde


  • >5k berichten
  • 44877 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 24 juni 2008 - 07:00

Het zal dus ongetwijfeld fout zijn :D

Ik ben bang van wel, want dit:

  • Het dal van het touw beweegt half zo langzaam omlaag als het losgelaten uiteinde van het touw en de bal.
  • Er is sprake van constante acceleratie.

zijn verkeerde veronderstellingen

Veranderd door Jan van de Velde, 24 juni 2008 - 07:01

ALS WIJ JE GEHOLPEN HEBBEN....
help ons dan eiwitten vouwen, en help mee ziekten als kanker en zo te bestrijden in de vrije tijd van je chip...
http://www.wetenscha...showtopic=59270

#5

BarryVos

    BarryVos


  • >25 berichten
  • 44 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 24 juni 2008 - 13:52

Ik ben bang van wel, want dit: zijn verkeerde veronderstellingen

Ik geef toe dat ik geen expert ben op het gebied van vallende touwen, maar dat leek me nou juist heel logisch.

Wat betreft de tweedeling: de top (van het dal) legt twee keer minder afstand af dan het losgelaten uiteinde. Ze zijn beide op hetzelfde moment 'uitgezwaait'. Dan zal de top zich op elk gegeven moment toch twee maal minder hebben verplaatst?
En de constante acceleratie:
Het touw zwaait naar beneden als gevolg van de zwaartekracht die op het linkerdeel van het touw werkt. Ik zie niet in hoe dat niet een eenparig versnelde beweging is :S

Daarbij ga ik er wel vanuit dat de zwaai die het touw maakt, zelf geen rare bijeffecten creeert. Is dat de ultieme verkeerde veronderstelling?

(oh verdorie. De vermenigvuldiging met 2 in de laatste vergelijking moet natuurlijk LaTeX zijn, gezien de bepaalde equivalentie...)

#6

Jan van de Velde

    Jan van de Velde


  • >5k berichten
  • 44877 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 24 juni 2008 - 14:10

Je bent slachtoffer van een eerste kennismaking met het vallende ketting fenomeen. Mede verantwoordelijk voor het knallen van de zweep en nog een paar leuke dingetjes.

Als het touw een stukje gevallen is, hangen delen van het touw alweer stil, maar lager. Die stukjes hádden dus hoogte-energie, en die werd omgezet in bewegingsenergie. Maar die bewegingsenergie zijn ze intussen óók weer kwijt.

vallend_touw.gif

Dat kán natuurlijk niet, zomaar verdwenen energie. In een ideaal touw wordt die energie van die stilvallende stukjes overgedragen aan het nóg wél bewegende deel van het touw, dat daardoor sneller valt dan de valversnelling. (in een minder ideaal touw natuurlijk nog wat zijdelingse beweging, warmte etc.)

Naarmate een groter deel van het touw al gevallen is worden steeds grotere hapjes energie aan steeds minder nog vallend touw overgedragen. Het laatste eindje ondervindt op dat ogenblik dan ook een énorme versnelling.

Kortom de versnelling van het tipje van het touw is vérre van constant, maar wordt steeds groter en uiteindelijk bijna oneindig. In een zweep kan het dan goed dat dat laatste stukje "door de geluidsbarriëre" gaat en zo een knal veroorzaakt.
ALS WIJ JE GEHOLPEN HEBBEN....
help ons dan eiwitten vouwen, en help mee ziekten als kanker en zo te bestrijden in de vrije tijd van je chip...
http://www.wetenscha...showtopic=59270

#7

DavidK

    DavidK


  • >25 berichten
  • 56 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 24 juni 2008 - 16:23

Is de knal van een zweep niet gewoon doordat het een 'object' raakt? :D

#8

dirkwb

    dirkwb


  • >1k berichten
  • 4173 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 24 juni 2008 - 18:32

@Jan: maakt de lengte van het stuk touw nog iets uit voor de verhouding van de 'valtijden'?

Veranderd door dirkwb, 24 juni 2008 - 18:33

Quitters never win and winners never quit.

#9

Jan van de Velde

    Jan van de Velde


  • >5k berichten
  • 44877 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 24 juni 2008 - 20:38

Dat klinkt als een voor jou retorische vraag. Ik heb voorzichtigheidshalve mijn eerdere antwoord direct gekwalificeerd als "voor een touwtje van ca 1 m lengte"

Ik krijg dit niet goed doorgedacht. In eerste instantie lijkt het van wel: hoe langer de val duurt, hoe langer een verschil in versnelling zich kan laten gelden. Maar dit beschouwende vanuit de energie wordt het dan weer warrig, want er blijft wel meer energie over om over te dragen bij een langer touw, maar dat moet dan ook weer aan navenant meer touw worden overgedragen. Ga ik naar een ander uiterste (een uiterst kort touwtje) dan fluistert mijn intuïtie :D voorzichtig dat er niet veel verschil lijkt over te blijven, maar ik ben er niet uit of dat behalve in absolute zin ook in relatieve zin zal gelden.

Gok: ja, hoe langer het touw, hoe groter de verhouding tussen zijn valtijd en de valtijd van een kogel (alle andere invloeden verwaarloosd)

Eerlijk antwoord: geen idee. Ik weet dat dit hele feest al jarenlang onderwerp is van dikke papers in gerenommeerde journals, en wat ik aan wiskunde tegenkom gaat me vér boven de pet.

tell us..... :D
ALS WIJ JE GEHOLPEN HEBBEN....
help ons dan eiwitten vouwen, en help mee ziekten als kanker en zo te bestrijden in de vrije tijd van je chip...
http://www.wetenscha...showtopic=59270

#10

eendavid

    eendavid


  • >1k berichten
  • 3751 berichten
  • VIP

Geplaatst op 24 juni 2008 - 20:59

Zie hier: klik. Ze geven zowel simulaties als een benaderend model. De w-afhankelijkheid kan je niet uit het model halen.

Integreer uitdrukking (20), dan heb je y(t). Inverteer dan y(t)=L. Dat zal wel afhankelijk zijn van de lengte van de draad.

edit: link fixed, was verstrooid, dank u Phys

#11

Phys

    Phys


  • >5k berichten
  • 7556 berichten
  • VIP

Geplaatst op 24 juni 2008 - 21:02

Zie hier: klik.

Waar? :D
Never express yourself more clearly than you think.
- Niels Bohr -

#12

eendavid

    eendavid


  • >1k berichten
  • 3751 berichten
  • VIP

Geplaatst op 24 juni 2008 - 21:09

nu doet ie't :D

#13

DePurpereWolf

    DePurpereWolf


  • >5k berichten
  • 9240 berichten
  • VIP

Geplaatst op 24 juni 2008 - 21:28

Stel je hebt een kogel aan een touw, je laat het touw nu helemaal uit de beschouwing, de kogel valt, potentiële energie word omgezet in bewegingsenergie. Op een punt is het touw op en word de kogel afgeremd. Als het een elastisch touw is, dan springt de bal weer op, en krijg je een massa veer systeem. Het probleem is dan denk ik dat een ketting of een touw alles behalve elastisch is. Een ketting kan dat zijn, maar alleen als het uitgerekt word, als de kogel weer omhoog komt en de spanning op de ketting verdwijnt is het niet meer elastisch.

Als we toch elastisch willen denken, kun je een touw voorstellen als heelveel kleine kogeltjes aan heelveel kleine elastiekjes.

Voor twee kogels, de ene hangt aan een elastiek aan het plafond, de tweede aan de eerste bal met een elastiek. De eerste kogel valt, het trekt de elastiek uit terwijl de andere bal nog aan het vliegen is. Ik denk dat er dan toch wel een tweedegraads differentiaal vergelijking van te maken is, alleen weet ik niet of het wel toepasbaar is op een touw, dat is volgens mij namelijk niet elastisch.

Misschien dat de volgende afbeelding een ideetje is?
Zal er eens hard over moeten nadenken, want differentiaal vergelijkingen is niet iets wat ik zomaar uit mijn duim kan zuigen, maar misschien brengt het iemand op een idee.
touwvalt.png

#14

dirkwb

    dirkwb


  • >1k berichten
  • 4173 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 26 juni 2008 - 09:17

Via een energiebalans.

LaTeX , h moet bepaald worden uit het zwaartepunt.

LaTeX


Merk op dat LaTeX en LaTeX zo dat we vinden:

LaTeX hieruit volgt dus voor Ez


De zwaarte-energie
LaTeX






De kinetische energie is een stuk makkelijker te vinden:

LaTeX

De massa van het linkerstuk (dat dus beweegt): LaTeX dus we vinden


De kinetische energie: LaTeX






De totale energie blijft behouden, maar hoe vinden deze constante met al die x'-en? Nou op t=0 is x=0 en is de kinetische energie nul. Dus x=0 invullen in Ez levert op


De totale energie: LaTeX


Nu kunnen we v^2 oplossen uit LaTeX ofwel:

LaTeX


hieruit volgt de snelheid:


De snelheid
LaTeX







We weten dat v=dx/dt dus dt = 1/v dx met twee integralen erbij en met y =l-x:


LaTeX


Nu alles in y/l schrijven en een belangrijke sqrt(2*l) eruit halen:



LaTeX


Links herkennen we de tijd die nodig is om een bal op dezelfde hoogte te laten vallen! We noemen deze tijd tb en substitueren p = y/l en omdat x=0,...,l loopt de integraal van 0 tot 1:


LaTeX



Conclusie
De laatste integraal kan met de computer worden bepaald en we krijgen:

LaTeX

Het stukje touw is pakweg 15% sneller dan de bal beneden onder natuurlijk enkele aannames.

Veranderd door dirkwb, 26 juni 2008 - 09:18

Quitters never win and winners never quit.

#15

Jan van de Velde

    Jan van de Velde


  • >5k berichten
  • 44877 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 26 juni 2008 - 17:09

Zie hier: Bericht bekijken

..//..

LaTeX

Conclusie
De laatste integraal kan met de computer worden bepaald en we krijgen:

LaTeX

Dirkwb en eendavid zijn het dus nog niet eens. :D Maar ik zei de gek ga geen scheidsrechter spelen.
ALS WIJ JE GEHOLPEN HEBBEN....
help ons dan eiwitten vouwen, en help mee ziekten als kanker en zo te bestrijden in de vrije tijd van je chip...
http://www.wetenscha...showtopic=59270





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures