Lastige limiet

Xenion

\(\lim_{x\to 0}\frac{(x\ln(x+1)-x^2)}{(e^x-e^{-x}-2x)}\)

Ik ben sowiso al slecht in het oplossen van limieten, maar hier met die ln en die e's maak ik er helemaal niks meer van.

LiesbethDN

Hint : de regel van De L'Hopital

Wanneer je x = 0 invult in het functievoorschrift, kom je uit op

\( \frac{0}{0} \)

, en dan kan je De L'Hopital gebruiken.

Xenion

LiesbethDN schreef:Hint : de regel van De L'Hopital

Wanneer je x = 0 invult in het functievoorschrift, kom je uit op
\( \frac{0}{0} \)
, en dan kan je De L'Hopital gebruiken.

Dacht ik ook, maar dat maakt het er toch niet veel makkelijker op?

@LatTex, toen ik het probeerde lukte het niet goed, maarja kheb een alternatieve notatie gevonden

LiesbethDN

Het ziet er misschien ingewikkelder uit, maar vul in het voorschrift dat je dan krijgt maar eens x = 0 in, dan houd je zowel in teller als in noemer iets over.

Xenion

Het ziet er misschien ingewikkelder uit, maar vul in het voorschrift dat je dan krijgt maar eens x = 0 in, dan houd je zowel in teller als in noemer iets over.

Misschien mis ik iets, maar ik krijg in de afgeleiden ook gewoon 0'en.

Xenion

\((ln(x+1)+\frac{x}{x+1}-2x)\)

en

\((e^x + e^{-x} - 2)\)

LiesbethDN

Je hebt volledig gelijk, in de afgeleide krijg je ook opnieuw 0 over 0. Ik had een rekenfoutje gemaakt. Ik ga nog eventjes narekenen dan.

Xenion

Je hebt volledig gelijk, in de afgeleide krijg je ook opnieuw 0 over 0. Ik had een rekenfoutje gemaakt maar als je dan nog eens afleid zou het moeten goedkomen denk ik

En mag dat? Nog eens afleiden?

Oja ik zie het, je moet nog eens afleiden, daarna nog eens en dan kom je -3/2 uit.

Wat een smerige opgave...

TD

Als er opnieuw een onbepaaldheid van de vorm 0/0 of

/

is wel.

LiesbethDN

Dat mag ja, zolang je op

\( \frac{0}{0} of \frac{\infty}{\infty} \)

uitkomt wanneer je je limietwaarde invult.

Safe

Ken je de reeksontwikkelingen van ln(1+x) voor een omgeving van x=0 en die van e^x (voor de gehele R)?

Xenion

Ken je de reeksontwikkelingen van ln(1+x) voor een omgeving van x=0 en die van e^x (voor de gehele R)?

e^x ken ik wel, maar hoort eigenlijk niet tot de te kennen leerstof

Phys

Voor de aardigheid even Safe's aanzet afmakend:

\(\log(x+1)\approx x-\frac{x^2}{2}\)

\(e^x\approx 1+x+\frac{x}{2}+\frac{x^3}{6}\)

\(e^{-x}\approx 1-x+\frac{x}{2}-\frac{x^3}{6}\)

(hogere orden kun je verwaarlozen, immers je bekijkt x->0).

Dus

\(e^x-e^{-x}\approx 2x+\frac{2}{6}x^3\)

Invullen:

\(\lim_{x\to 0}\frac{(x\ln(x+1)-x^2)}{(e^x-e^{-x}-2x)}=\lim_{x\to 0}\frac{x(x-\frac{x^2}{2})-x^2}{2x+\frac{2}{6}x^3-2x}=\lim_{x\to 0}\frac{-\frac{x^3}{2}}{\frac{x^3}{3}}=-\frac{3}{2}\)

jhnbk

Hoe weet jij exact welke orde je nodig hebt, of heb je daar een soort intuïtie voor?

dirkwb

Hoe weet jij exact welke orde je nodig hebt, of heb je daar een soort intuïtie voor?

Ik denk dat hij het daar afkapt omdat de hoogste macht van x in de limiet 2 is.

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

Lastige limiet

Lastige limiet

Re: Lastige limiet

Re: Lastige limiet

Re: Lastige limiet

Re: Lastige limiet

Re: Lastige limiet

Re: Lastige limiet

Re: Lastige limiet

Re: Lastige limiet

Re: Lastige limiet

Re: Lastige limiet

Re: Lastige limiet

Re: Lastige limiet

Re: Lastige limiet

Re: Lastige limiet