Springen naar inhoud

Stomphoekige driehoek met geheeltallige zijden..


  • Log in om te kunnen reageren

#1

zijtjeszotjes

    zijtjeszotjes


  • >100 berichten
  • 171 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 25 juni 2008 - 23:00

Stel je hebt een stomphoekige driehoek met zijden van lengten a,b en 100 zdd a,b zijn geheel en 0<a<b<100.
Wat is de grootste waarde die a kan aannemen? Het antwoord is 70 maar dat vond ik na heel wat geprust. Kent iemand een leuk bewijsje?

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

thermo1945

    thermo1945


  • >1k berichten
  • 3112 berichten
  • Verbannen

Geplaatst op 26 juni 2008 - 07:54

Stel je hebt een stomphoekige driehoek met zijden van lengten a,b en 100 zdd a,b zijn geheel en 0<a<b<100. Wat is de grootste waarde die a kan aannemen?

Gebruik de driehoeksongelijkheid

Veranderd door thermo1945, 26 juni 2008 - 07:55


#3

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9906 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 26 juni 2008 - 10:34

Denk eens aan de gelijkbenig rechth drh met schuine zijde 100.

#4

Erik Leppen

    Erik Leppen


  • >250 berichten
  • 367 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 19 augustus 2008 - 10:46

Je wil a zo groot mogleijk proberen te maken. Het "limietgeval" is dus dat a = b (nu is dat geen optie omdat je een strikte ongelijkheid hebt, maar het gaat even om de gedachtengang). Dan is je driehoek dus gelijkbenig. Omdat a en b kleiner dan 100 zijn moet de stmope hoek dus tegenover de 100 zitten, dus daar waar zijden a en b aansluiten. Begin bij a = b = 50 + (een heel klein beetje) en laat ze langzaam groeien. Wat er gebeurt is dat de hoek ertussen kleiner wordt. Op het overgangspunt is deze hoek precies recht, en daarna wordt deze scherp. Hoe lang zijn a en b op het overgangspunt? Denk Pythagoras:
a2 + b2 = c2 = 1002, en a = b.
Dus 2 a2 = 10.000 dus a2 = 5.000, dus a = 70,7... Dus a = b = 71 is te groot. a = b = 70 werkt wel. Maar omdat a < b moet zijn, moet je nog even kijken welke de grootste gaat zijn: a = 69, b = 70, of a = 70, b = 71.

Omdat 702 + 712 = 9.941 < 10.000, wat de hoek stomp maakt (de langste zijde is namelijk iets langer dan wortel(9.941).


Overigens, de driehoeksongelijkheid zegt alleen maar dat a + b >= 101, verder heb je er niets aan.





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures