Springen naar inhoud

[Wiskunde] Meetkundige transformaties


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Scofield

    Scofield


  • >250 berichten
  • 355 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 10 juli 2008 - 15:07

Hallo,

Ik kreeg vandaag volgende oef voor mijn neus.

Gegeven:
Het vlak
> alpha met vergelijking
> 2*x+2*y-z = -4
en de rechte
> s bepaald door het punt
> Q(4,-2,8) en de richtingsvector
> u(1,2,6)

Gevraagd:
(i) Bepaal een opeenvolging van translaties en rotaties die ervoor zorgt dat
> alpha wordt afgebeeld op het XZ-vlak en s op de Z-as

Nu, de oplossing op deze oefening heb ik (in maple), maar ik heb geen idee waarom en hoe dit geldt.

> restart:
> with(LinearAlgebra):
parametervoorstelling van s (in homogene coordinaten)
> s:=<4+u,-2+2*u,8+6*u,1>;

								[ 4 + u  ]
								[		]
								[-2 + 2 u]
						   s := [		]
								[8 + 6 u ]
								[		]
								[   1	]

vergelijking van alpha
> alpha:=2*x+2*y-z+4=0;

					alpha := 2 x + 2 y - z + 4 = 0

STAP 1:
translatie van een punt van s naar de oorsprong
> T:=<<1,0,0,0>|<0,1,0,0>|<0,0,1,0>|<0,0,0,1>>:
> T[1,4]:=-3: T[2,4]:=4: T[3,4]:=-2:
> T;

						 [1	0	0	-3]
						 [				 ]
						 [0	1	0	 4]
						 [				 ]
						 [0	0	1	-2]
						 [				 ]
						 [0	0	0	 1]

STAP 2:
rotatie om de Z-as met als doel de snijlijn van 
> alpha met het XY-vlak te laten samenvallen met de X-as
> Rz:=<<1,0,0,0>|<0,1,0,0>|<0,0,1,0>|<0,0,0,1>>:
> Rz[1,1]:=cos(Pi/4): Rz[1,2]:=-sin(Pi/4): 
> Rz[2,1]:=-Rz[1,2]: Rz[2,2]:=Rz[1,1]:
> Rz;

					  [ 1/2	   1/2		  ]
					  [2		 2			 ]
					  [----	- ----	0	0]
					  [ 2		 2			]
					  [						]
					  [ 1/2	  1/2		   ]
					  [2		2			  ]
					  [----	 ----	 0	0]
					  [ 2		2			 ]
					  [						]
					  [ 0		0	   1	0]
					  [						]
					  [ 0		0	   0	1]

STAP 3:
rotatie om de x-as teneinde het vlak te laten samenvallen met het xz-vlak
> Rx:=<<1,0,0,0>|<0,1,0,0>|<0,0,1,0>|<0,0,0,1>>:
> Rx[2,2]:=2*sqrt(2)/3: Rx[2,3]:=-1/3:
> Rx[3,2]:=-Rx[2,3]: Rx[3,3]:=Rx[2,2]:
> Rx;

					 [1	  0		 0	   0]
					 [						  ]
					 [		1/2			   ]
					 [	 2 2				  ]
					 [0	------	 -1/3	 0]
					 [	   3				  ]
					 [						  ]
					 [				  1/2	 ]
					 [			   2 2		]
					 [0	 1/3	  ------	0]
					 [				 3		]
					 [						  ]
					 [0	  0		 0	   1]

STAP 4:
rotatie in het xz-vlak (of, om de y-as) met als doel de rechte te laten samenvallen met de z-as
> Ry:=<<1,0,0,0>|<0,1,0,0>|<0,0,1,0>|<0,0,0,1>>:
> Ry[1,1]:=9/sqrt(82): Ry[1,3]:=1/sqrt(82):
> Ry[3,1]:=-Ry[1,3]: Ry[3,3]:=Ry[1,1]:
> Ry;

					[	1/2			1/2	  ]
					[9 82			 82		 ]
					[-------	0	 -----	 0]
					[  82			  82		]
					[							]
					[   0	   1	   0	   0]
					[							]
					[	1/2			 1/2	 ]
					[  82			9 82		]
					[- -----	0	-------	0]
					[   82			 82		]
					[							]
					[   0	   0	   0	   1]

volledige transformatie
> M:=simplify(map(combine,Ry.Rx.Rz.T));

			 [	 1/2		   1/2		1/2		   1/2]
			 [14 41		 13 41	   2 41		 98 41   ]
			 [--------	- --------	-------	- --------]
			 [  123		   123		 123		  123   ]
			 [											   ]
			 [  2/3		  2/3		 -1/3		 4/3	]
		M := [											   ]
			 [   1/2		   1/2		  1/2		  1/2 ]
			 [ 41		  2 41		 6 41		 7 41	]
			 [ -----	   -------	  -------	- ------- ]
			 [  41		   41		   41		   41	]
			 [											   ]
			 [   0			0			0		   1	 ]

> tfM:=M.<x,y,z,1>;

			  [	 1/2		  1/2		 1/2		  1/2]
			  [14 41	x   13 41	y   2 41	z   98 41   ]
			  [---------- - ---------- + --------- - --------]
			  [   123		  123		  123		123   ]
			  [											  ]
			  [			2 x   2 y						 ]
			  [			--- + --- - z/3 + 4/3			 ]
	   tfM := [			 3	 3						  ]
			  [											  ]
			  [	1/2		 1/2		 1/2		 1/2   ]
			  [  41	x   2 41	y   6 41	z   7 41	  ]
			  [  ------- + --------- + --------- - -------   ]
			  [	41		 41		  41		 41	  ]
			  [											  ]
			  [					  1					   ]

> invtfM:=M^(-1).<X,Y,Z,1>;

					  [	   1/2			 1/2		]
					  [  14 41	X   2 Y   41	Z	  ]
					  [  ---------- + --- + ------- + 3  ]
					  [	 123		3	  41		 ]
					  [								  ]
					  [	   1/2			   1/2	  ]
					  [  13 41	X   2 Y   2 41	Z	]
			invtfM := [- ---------- + --- + --------- - 4]
					  [	 123		3	   41		]
					  [								  ]
					  [	 1/2			   1/2		]
					  [ 2 41	X		 6 41	Z	  ]
					  [ --------- - Y/3 + --------- + 2  ]
					  [	123			   41		  ]
					  [								  ]
					  [				1				 ]

effect op s
> simplify(M.s);

						  [	   0	   ]
						  [			   ]
						  [	   0	   ]
						  [			   ]
						  [  1/2	 1/2  ]
						  [41	+ 41	u]
						  [			   ]
						  [	   1	   ]

effect op het vlak
> subs(x=invtfM[1],y=invtfM[2],z=invtfM[3],alpha);

							   3 Y = 0

>

Veranderd door Scofield, 10 juli 2008 - 15:19


Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.




0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures