[wiskunde] bewijs van (1+2...+n)^2 = 1^3+2^3...+n^3

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Reageer
Gebruikersavatar
Berichten: 577

[wiskunde] bewijs van (1+2...+n)^2 = 1^3+2^3...+n^3

Hallo,

ik kom even niet uit dit bewijs:
\((1+2+3+4+5...+n)^{2}=1^3+2^3+3^3+4^3+5^3...+n^3\)
\((1+2+3+4+5...+n)(1+2+3+4+5...+n)=1^3+2^3+3^3+4^3+5^3...+n^3\)
maar verder zie ik het niet, ik weet niet hoe ze aan die
\(^3\)
kan komen :D .

Bedankt!
To invent something you need to see what everyone sees, do what everybody does and think that nobody has though of.

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: [wiskunde] bewijs van (1+2...+n)^2 = 1^3+2^3...+n^3

Je kan dit bewijzen per inductie op n.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Gebruikersavatar
Berichten: 577

Re: [wiskunde] bewijs van (1+2...+n)^2 = 1^3+2^3...+n^3

Kunt u het verder uitleggen? :D ik heb inductie nog niet echt gehad)
To invent something you need to see what everyone sees, do what everybody does and think that nobody has though of.

Gebruikersavatar
Berichten: 7.556

Re: [wiskunde] bewijs van (1+2...+n)^2 = 1^3+2^3...+n^3

Voor uitleg over inductie kun je wikipedia raadplegen: http://en.wikipedia.org/wiki/Mathematical_induction
Never express yourself more clearly than you think.

- Niels Bohr -

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: [wiskunde] bewijs van (1+2...+n)^2 = 1^3+2^3...+n^3

Is het wel de bedoeling dat je dit kan bewijzen, of is het uit eigen interesse?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Gebruikersavatar
Berichten: 577

Re: [wiskunde] bewijs van (1+2...+n)^2 = 1^3+2^3...+n^3

Volledig eigen interesse =).
To invent something you need to see what everyone sees, do what everybody does and think that nobody has though of.

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: [wiskunde] bewijs van (1+2...+n)^2 = 1^3+2^3...+n^3

Ben je met de link van phys al verder geraakt?

Het idee is:

- toon aan voor een zekere waarde van n (doorgaans de minimale),

- toon aan dat als het geldt voor n = k, dan ook voor n = k+1...
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Berichten: 1

Re: [wiskunde] bewijs van (1+2...+n)^2 = 1^3+2^3...+n^3

Hallo toch maar even een aanzet naar het bewijs.

Volledige inductie werkt als volgt: 1²=1³

Dus de stelling klopt voor n=1.

Neem aan dat het klopt voor n=p. Als we kunnen bewijzen, dat het klopt voor n=p+1, dan zijn we klaar.

(1+......+p)²= 1³+........+p³

(1+......+p+(p+1))²=((1+....+p)+(p+1))²=(1+..+p)²+2(1+..+p)(p+1)+(p+1)²

=1³+.....+p³+2(1+..+p)(p+1)+(p+1)²

(volgens aanname van geldigheid voor p)

en nu (p+1) buiten de haakjes brengen.

en vervolgens de formule voor de som van een rekenkundige rij 1+...+p=p(p+1)/2 toepassen



geeft

=1³+.....+p³+(p+1)³

zodat de stelling geldt voor p+1 en daarom voor alle natuurlijke getallen en dus ook voor n

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: [wiskunde] bewijs van (1+2...+n)^2 = 1^3+2^3...+n^3

Noem jij dit aan aanzet? Dit is niet echt de bedoeling...
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Gebruikersavatar
Berichten: 7.556

Re: [wiskunde] bewijs van (1+2...+n)^2 = 1^3+2^3...+n^3

Sterker nog:
Dit is niet echt de bedoeling...
Dit is echt niet de bedoeling...
Never express yourself more clearly than you think.

- Niels Bohr -

Reageer