Oneigenlijke integraal

Moderators: dirkwb, Xilvo

Reageer
Berichten: 355

Oneigenlijke integraal

Hallo,

Ik kreeg vandaag deze vraag voor mijn neus:

"Voor welke waarden van m en n is int(x^m*exp(-x^n),x=0..infinity) convergent?

Iemand enig idee hoe hieraan te beginnen?

Mvg

Gebruikersavatar
Berichten: 6.905

Re: Oneigenlijke integraal

Wat weet je voor convergentie van
\(\int_{0}^{\infty} x^n e^{-x} \mbox{d}x\)
?

Zo geraak je wel verder denk ik.
Het vel van de beer kunnen verkopen vraagt moeite tenzij deze dood voor je neervalt. Die kans is echter klein dus moeten we zelf moeite doen.

Berichten: 355

Re: Oneigenlijke integraal

Niets. Ik heb eerlijk gezegd geen idee hoe ik verder moet... :D

Re: Oneigenlijke integraal

Voor welke positieve gehele waarden
\(m\)
en
\(n\)
is de volgende integraal eindig:
\( \int_0^{\infty}x^m e^{-x^n} \ dx\)
Antwoord: voor alle.

Merk op dat
\(x^m e^{-x} < e^{-\frac{x}{2}}\)
voor
\(x\)
groot genoeg.

Dan is
\(x^m e^{-x^n} < x^m e^{-x} < e^{-\frac{x}{2}}\)
voor
\(x\)
groot genoeg.
\( \int_0^{\infty}e^{-\frac{x}{2}}\ dx = 2\)
, dus eindig.

Dus
\(\int_Q^{\infty}x^m e^{-x^n}\ dx < \infty\)
voor zekere
\(Q\)
enz.

Reageer