Pagina 1 van 1
Oneigenlijke integraal
Geplaatst: zo 20 jul 2008, 21:26
door Scofield
Hallo,
Ik kreeg vandaag deze vraag voor mijn neus:
"Voor welke waarden van m en n is int(x^m*exp(-x^n),x=0..infinity) convergent?
Iemand enig idee hoe hieraan te beginnen?
Mvg
Re: Oneigenlijke integraal
Geplaatst: vr 25 jul 2008, 23:19
door jhnbk
Wat weet je voor convergentie van
\(\int_{0}^{\infty} x^n e^{-x} \mbox{d}x\)
?
Zo geraak je wel verder denk ik.
Re: Oneigenlijke integraal
Geplaatst: zo 27 jul 2008, 16:46
door Scofield
Niets. Ik heb eerlijk gezegd geen idee hoe ik verder moet...
Re: Oneigenlijke integraal
Geplaatst: zo 27 jul 2008, 17:30
door PeterPan
Voor welke positieve gehele waarden
\(m\)
en
\(n\)
is de volgende integraal eindig:
\( \int_0^{\infty}x^m e^{-x^n} \ dx\)
Antwoord: voor alle.
Merk op dat
\(x^m e^{-x} < e^{-\frac{x}{2}}\)
voor
\(x\)
groot genoeg.
Dan is
\(x^m e^{-x^n} < x^m e^{-x} < e^{-\frac{x}{2}}\)
voor
\(x\)
groot genoeg.
\( \int_0^{\infty}e^{-\frac{x}{2}}\ dx = 2\)
, dus eindig.
Dus
\(\int_Q^{\infty}x^m e^{-x^n}\ dx < \infty\)
voor zekere
\(Q\)
enz.
