Springen naar inhoud

De riemann hypothese: zeta + beta


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Agno

    Agno


  • >25 berichten
  • 100 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 26 juli 2008 - 21:10

De Riemann hypothese blijft intrigeren, zeker toen ik deze introductie van Roland van der Veen en Jan van de Craats een paar keer doorgelezen had. Deze minicursus is heel goed te volgen en vereist enkel middelbare school wiskunde.

http://staff.science...ts/RHnajaar.pdf

De Zeta functie op zich is vrij simpel. LaTeX = LaTeX + LaTeX + LaTeX + ... LaTeX waarbij n = 1...LaTeX

Euler heeft zitten spelen met verschillende waarden voor s en vond (en bewees) hele mooie uitkomsten. Bijvoorbeeld: LaTeX en LaTeX

Opvallend is dat even waarden van s redelijk mooie uitkomsten geven, maar bijv. LaTeX levert een 'lelijk' getal op (wat wel bewezen irrationaal is, maar van s= 5, 7, 9 etc. is echt helemaal niks fraais bekend).

Riemann kwam op het idee om het domein van s uit te breiden naar alle complexe getallen en vond toen de differentiaalvergelijking:

LaTeX (kan ook op andere manieren geschreven worden).

Hij vond meteen de zogenaamde triviale nulpunten op -2, -4, -6 etc. (dan geldt dat: LaTeX ) maar ook zgn. niet-triviale nulpunten die allemaal lijken te liggen op de lijn LaTeX . Als je kunt bewijzen dat alle non-triviale nulpunten inderdaad op deze lijn liggen dan ben je in ťťn klap wereldberoemd.

Stoute gedachte. Wat zou er gebeuren als we n niet van 1 tot LaTeX zouden laten lopen, maar van LaTeX ...-1 en 1...+LaTeX en dan de uitkomsten bij elkaar optellen.


Stel:

LaTeX

LaTeX

Het mooie is dat als je LaTeX en LaTeX bij elkaar optelt dan krijg je voor s=oneven precies 0 (want LaTeX ) en voor s= even wordt het gewoon twee keer de waarde van LaTeX (want LaTeX en LaTeX dus samen LaTeX ). Dit levert dus ogenschijnlijk elegantere getallen op (en schoonheid is belangrijk in de wiskunde; het kan soms de intuÔtie versterken :D )

Kan dit echter ook voor complexe getallen? Jazeker. Met de hulp van een wiskundige op een Engels forum kwam ik al een stapje verder. Hij nam aan dat LaTeX en breidde dit uit naar het volledige negatieve bereik door te vermenigvuldigen met LaTeX (met de waarschuwing dat machten met negatieve grondtallen ambivalent kunnen zijn).

LaTeX

Het mooie is dat dit precies klopt met de aanname dat als s= even dan is het twee keer LaTeX en als s= oneven dan is de uitkomst nul.

Helaas geldt dit enkel voor Re(s) > 1 en mijn droom was om met de toppen van de LaTeX functie een (misschien bewijsbaar) complement te vinden voor de (nog niet bewijsbare) non-triviale nulpunten van LaTeX . Twee "lelijke" plaatjes die als het ware precies in elkaar pasten en iets "moois" opleveren. Daarvoor moet LaTeX echter wel eerst naar het volledige complexe domein worden uitgebreid en dat blijkt niet te kunnen?

Misschien is het een volledig dood spoor, maar misschien heeft iemand een gouden idee hoe je LaTeX ook net als LaTeX naar het volledige complexe domein kunt uitbreiden (door LaTeX aan LaTeX te relateren)? Als dat kan dan ben ik benieuwd of LaTeX ook triviale en non-triviale nulpunten (of pieken) heeft op de lijn LaTeX .

Een ander wild idee is om de n in LaTeX niet alleen uit te breiden naar LaTeX (zoals hierboven staat beschreven), maar om ook het geheeltallige domein LaTeX te doorlopen.


Sta open voor alle suggesties!

Veranderd door Agno, 26 juli 2008 - 21:13


Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 26 juli 2008 - 21:47

Je beweert dat
LaTeX .
Dat lijkt me nogal een boute bewering.

De Riemann hypothese is met de huidige stand van de wiskunde nog te hoog gegrepen.
Veel interessanter en een grotere kans op succes en uiterst sensationeel is het als je zou kunnen bewijzen dat
LaTeX irrationaal is.
Bekijk het bewijs voor de irrationaliteit van LaTeX en kom op het idee van de juiste integraal om de irrationaliteit van LaTeX te bewijzen.

#3

The Black Mathematician

    The Black Mathematician


  • >100 berichten
  • 150 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 27 juli 2008 - 13:41

Jee, wat ben jij cynisch tegenover enthousiaste mensen zeg.

Om een antwoord te geven aan de TS:

Je kan LaTeX relateren aan LaTeX door te kijken naar de functionaalvergelijking van LaTeX .

Eerst merken we op
LaTeX .

Dus LaTeX . We vullen dit in de functionaalvergelijking
LaTeX
zodat we krijgen:

LaTeX .

Deel nu door LaTeX , de functionaalvergelijking die je dan krijgt relateert LaTeX aan LaTeX :

LaTeX .

#4

Agno

    Agno


  • >25 berichten
  • 100 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 27 juli 2008 - 23:47

Bedankt voor je reactie TBM! Ik kan het helemaal volgen.

Dus: LaTeX

Dit roept meteen een paar nieuwe vragen op:

1) Mag ik hierin nu inderdaad ongestraft voor s complexe getallen met 0 <= R(e) < 1 invullen? Of overtreed ik dan regels met betrekking tot machten van negatieve getallen?

2) Heeft deze formule dezelfde non-triviale nulpunten op de lijn LaTeX als LaTeX ? (voor de triviale nulpunten is het duidelijk hetzelfde).

3) Mag ik de formule LaTeX ook schrijven als LaTeX ? (zodra ik bijvoorbeeld een non-triviaal nulpunt van de vorm LaTeX invul dan wordt het resultaat LaTeX of LaTeX en vliegt deze term naar LaTeX . Als het antwoord op vraag 2 bevestigend is dan maakt dit natuurlijk niet uit (de andere termen zorgen dan voor een nul-term).

Alvast dank.

Veranderd door Agno, 27 juli 2008 - 23:55


#5

Agno

    Agno


  • >25 berichten
  • 100 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 28 juli 2008 - 00:59

Bedankt voor je reactie TBM! Ik kan het helemaal volgen.

Dus: LaTeX



Dit roept meteen een paar nieuwe vragen op:

1) Mag ik hierin nu inderdaad ongestraft voor s complexe getallen met 0 < R(e) < 1 invullen? Of overtreed ik dan regels met betrekking tot machten van negatieve getallen?

2) Heeft deze formule dezelfde non-triviale nulpunten op de lijn LaTeX als LaTeX ? (voor de triviale nulpunten is het duidelijk hetzelfde).

3) Mag ik de formule LaTeX ook schrijven als LaTeX ? (zodra ik bijvoorbeeld een non-triviaal nulpunt van de vorm LaTeX invul dan wordt het resultaat LaTeX en vliegt de tweede macht naar LaTeX . Als het antwoord op vraag 2 bevestigend is dan maakt dit natuurlijk niet uit (de andere termen zorgen dan voor een nul-term).

Alvast dank.
paar fouten eruit gehaald, kon bericht niet meer wijzigen.


#6

The Black Mathematician

    The Black Mathematician


  • >100 berichten
  • 150 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 28 juli 2008 - 04:02

1) Die ambiguÔteit maakt volgens mij niet veel uit. Je hebt inderdaad meerdere manieren waarop je LaTeX kunt definiŽren, maar dat levert volgens mij geen problemen op zolang je maar consequent dezelfde keuze maakt. Elke verschillende keuze voor LaTeX levert wel een andere functionaalvergelijking voor LaTeX op

Ik zal het als volgt proberen uit te leggen: Als LaTeX een positief reŽel getal is, kunnen we altijd LaTeX definiŽren via LaTeX . Dit kan niet voor negatieve LaTeX , want de logaritmische functie is alleen voor positieve getallen gedefiniŽerd.
Echter willen we nu willekeurige machten definiŽren voor willekeurige complexe LaTeX (dus ook voor negatieve getallen), dan zullen we de logaritme moeten uitbreiden.

LaTeX heet pas een functie als er voor elke LaTeX niet meer dan ťťn LaTeX is zodat LaTeX . Zo is als LaTeX gegeven door LaTeX een functie, want er is bijvoorbeeld maar ťťn LaTeX waarvoor geldt LaTeX , namelijk LaTeX . Willen we een functie LaTeX met de eigenschap LaTeX construeren (een zogenaamde rechterinverse), dan hebben we een probleem, want voor elke LaTeX zijn er ineens twee mogelijkheden. Moeten we bijvoorbeeld voor LaTeX nu LaTeX of LaTeX kiezen? Kies je consequent voor positieve getallen, dan krijg je de wortelfunctie LaTeX . Maar je had natuurlijk even goed voor LaTeX kunnen kiezen. Dit zijn de enige twee continue mogelijkheden, maar er zijn ook nog een hoop discontinue mogelijkheden zoals LaTeX en LaTeX als LaTeX . Dit probleem van het vinden van een ťťnduidige LaTeX komt alleen maar omdat er er niet geldt dat LaTeX dan LaTeX . Neem bijvoorbeeld LaTeX , dan zien we dat LaTeX , maar toch LaTeX .

Bij de complexe expontentiŽle functie hebben we eenzelfde probleem. Is het voor reŽle getallen nog zo dat als LaTeX dan LaTeX , voor de complexe getallen geldt dit niet meer.
Immers neem LaTeX en LaTeX . Dan LaTeX , maar toch LaTeX .
Willen we nu een logaritme construeren die als inverse voor de exponentiŽle functie dient, hebben we hetzelfde probleem als bij LaTeX , er zijn meerdere mogelijkheden en in dit geval wel oneindig, namelijk LaTeX , waarbij LaTeX een willekeurig geheel getal. Elke LaTeX is een mogelijke oplossing zodat LaTeX .
Standaard kiezen we LaTeX , maar nogmaals, andere oplossingen zijn ook mogelijk (en dan heb ik ze nog niet eens allemaal opgenoemd).

Anyway, we kunnen nu LaTeX definiŽren voor willekeurige complexe LaTeX via LaTeX , in het bijzonder dus LaTeX , maar er zijn meerdere keuzes mogelijk. Nemen we de standaardkeuze, dan krijgen we jouw keuze: LaTeX .
Wat je ook kiest, er geldt altijd voor de e-macht LaTeX , waarbij LaTeX en LaTeX complex zijn. Dus ook LaTeX .

Maakt dit nu wat uit voor je LaTeX ? Nee helemaal niet. Net zoals je LaTeX op meerdere manieren complex kan uitbreiden, geldt dat dus ook voor LaTeX , je moet het alleen consequent doen. Je breidt LaTeX uit via de formule LaTeX , waarbij je LaTeX vervangt door zijn complexe uitbreiding, en LaTeX door ťťn van zijn mogelijke uitbreidingen, namelijk LaTeX .

Deze uitbreiding van LaTeX is geldig voor alle LaTeX en is prachtig continu en differentiŽerbaar omdat LaTeX dat ook is. Er zijn dus geen problemen met de uitbreiding, tenzij ik iets over het hoofd heb gezien.



2) Hier kan ik veel korter op zijn. Ja, de nulpunten zijn precies hetzelfde. Zowel de triviale nulpunten als de niet-triviale. Dit is te zien via de formule LaTeX , waarbij we opmerken dat LaTeX nooit nul is, en ook nooit oneindig (want LaTeX heeft altijd absolute waarde gelijk aan 1), dus volgt dat LaTeX nooit oneindig of nul is, dus moet wel volgen dat LaTeX .



3) Die hoeft dus niet.

Veranderd door The Black Mathematician, 28 juli 2008 - 04:03


#7

Agno

    Agno


  • >25 berichten
  • 100 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 28 juli 2008 - 19:57

TBM,

Opnieuw bedankt voor de heldere uitleg! Crystal clear.

Het wordt me nu ook steeds duidelijker dat deze route niets nieuws zal opleveren aangezien de nulpunten zowel voor de LaTeX als voor de LaTeX gelijk zijn. Dit geldt dan waarschijnlijk ook voor de som van die twee. Maar toch:

Stel: LaTeX

Dus voor het domein 0 < Re(s) < 1 wordt dat:

LaTeX


Gemeenschappelijke termen buiten haakjes:


LaTeX

Toch nog twee vragen (als het mag):

1. Als ik kijk naar de termen van LaTeX dan kunnen ze m.u.v. LaTeX nooit nul worden (de Gamma functie heeft geen nulpunten). De triviale nulpunten heten dus niet voor niets zo. Waar zit hem dan het geheim van die non-triviale nulpunten? Het is ťťn lange vermenigvuldiging. Hoe kan het geheel dan toch nul worden?

2. Kan het zo zijn dat voor bepaalde waarden van s de som: LaTeX gelijk aan nul wordt (dus dat beide waarden elkaar opheffen net zoals bij s=oneven in mijn eerste post; een logische waarde lijkt LaTeX want dan staat er bijvoorbeeld: LaTeX . Dit levert echter een complex getal en een reŽel getal op. Maar wellicht lukt het wel met een complex getal in de vorm LaTeX en heffen ze elkaar toevallig precies op bij de non-triviale nulpunten ?)

Veranderd door Agno, 28 juli 2008 - 20:02


#8

The Black Mathematician

    The Black Mathematician


  • >100 berichten
  • 150 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 28 juli 2008 - 21:44

Natuurlijk mag je meer vragen stellen, ik beloof alleen niet dat ik ze beantwoord. :D

Om met vraag 1 te beginnen:
De informatie over waar precies een niet-triviale nul zit, weet ik niet uit de functionaalvergelijking te halen. Het kan waarschijnlijk wel, maar daar zijn dan technieken voor nodig die ik niet weet. Het enige dat je eruit kan halen is dat als LaTeX , dan ook LaTeX , juist omdat alle andere factoren (zoals jezelf al opmerkte) niet 0 kunnen zijn. In het bijzonder als LaTeX een niet triviaal nulpunt is, dan ook LaTeX , hetgeen ook keurig reŽel deel gelijk aan 1/2 heeft. Dus de nulpunten liggen gespiegeld rondom de LaTeX -as.
Meer kan ik er helaas niet uit halen, aangezien complexe functietheorie en getaltheorie niet mijn specialiteiten zijn.

Vraag 2:
Ik vrees dat je hier niet veel verder opschiet, aangezien LaTeX geheel uit te drukken is in termen van LaTeX .
Merk op LaTeX , dus LaTeX . En we zien dat LaTeX een nulpunt heet alleen als LaTeX het heeft, of als LaTeX . En die laatste nulpunten zijn nou niet de nulpunten waar je op zit te wachten, omdat ze nogal triviaal zijn. Andere nulpunten heeft LaTeX helaas niet. Maar misschien kan je er iets mee.

Heb je verder vragen, stel ze gerust, ik hoop ze te kunnen beantwoorden, maar het is met dit onderwerp geloof ik makkelijk om vragen te formuleren die echter heel moeilijk te beantwoorden zijn, zeker voor iemand als ik die zich niet dagelijks met getaltheorie of complexe functietheorie bezighoudt.

#9

The Black Mathematician

    The Black Mathematician


  • >100 berichten
  • 150 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 28 juli 2008 - 23:00

Nog even een toevoeging:
In dit artikel van Wikipedia wordt de complexe uitbreiding van LaTeX expliciet genoemd. Er staat echter geen bewijs van bij, maar misschien kan je er iets mee.

Veranderd door The Black Mathematician, 28 juli 2008 - 23:03


#10

Agno

    Agno


  • >25 berichten
  • 100 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 30 juli 2008 - 00:12

TBM,

Nogmaals dank voor de heldere uitleg. Het ene inzicht volgt het andere en ik doorloop een steile leercurve!

Heb vanavond een hoop links over de Riemann zeros gelezen en alhoewel de afleidingen niet eenvoudig zijn, ziet het eindresultaat er toch telkens bedriegelijk simpel uit. Ben echter nog steeds niet veel verder gekomen met waar die vermadelijde non-triviale nulpunten nu precies vandaan komen. Daarom toch nog een vraag:

Kan je door vermenigvulding van complexe getallen in de vorm LaTeX met de y > 0 ooit op nul uitkomen? Ik heb even gedacht dat er misschien ergens een uitkomst mogelijk zou zijn als LaTeX (of iets complexers), maar ik kan geen vermenigvuldiging bedenken die dit als resultaat oplevert.

Als het door vermenigvuldiging niet kan, dan moet het dus in de ontwikkeling van de somtermen van LaTeX en LaTeX zitten. Door het optellen van machten in de vorm LaTeX ontstaat er kennelijk bij bepaalde y's een cumulatie van positieve en negatieve termen die elkaar precies opheffen als n naar LaTeX kruipt.

#11

The Black Mathematician

    The Black Mathematician


  • >100 berichten
  • 150 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 30 juli 2008 - 04:17

Bedoel je of er LaTeX en LaTeX in LaTeX zijn zodat LaTeX ?

Als je dat bedoelt, dan moet ik je teleurstellen: die zijn er niet. [tex\cc[/tex] is namelijk een lichaam. Dit valt het makkelijkst te zien als we schrijven LaTeX met LaTeX en LaTeX . Zo ook LaTeX met LaTeX en LaTeX .

Dan LaTeX en omdat twee reŽle getalen LaTeX en LaTeX met elkaar vermenigvuldigd nooit 0 oplevert, volgt LaTeX .

Ik raad je aan om te gaan kijken naar de formule voor de analytische voortzetting die te vinden is in de link in mijn vorige post. Die formule is veel explicieter dan de functionaalvergelijking, bevat dus veel meer informatie dan de functionaalvergelijking, maar is helaas wel veel ingewikkelder.

#12

The Black Mathematician

    The Black Mathematician


  • >100 berichten
  • 150 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 30 juli 2008 - 11:01

Typo: de eerste regel in het vorige bericht moet natuurlijk zijn:
Bedoel je of er LaTeX en LaTeX in LaTeX zijn zodat LaTeX ?

#13

Agno

    Agno


  • >25 berichten
  • 100 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 30 juli 2008 - 14:17

TBM,

Jouw uitleg en bewijs dat het vermenigvuldigen van complexe getallen nooit nul kan opleveren, lag in de lijn mijner verwachtingen.

Bedoelde je deze formule van Hasse als een eenvoudigere vorm?

LaTeX

Hier ontbreken de LaTeX en LaTeX functies en dat is een zorg minder.

Maar toch:
1) De eerste term kan nooit nul worden (want dan moet je delen door nul)
2) De tweede (som) term kan nooit nul worden (maar nadert razendsnel tot nul)
3) De derde term moet dus een nul opleveren en als ik deze ontleed:

a) LaTeX flippert tussen -1 en 1 afhankelijk van de waarde van k. De laatste stand is afhankelijk van n (maar wordt nooit nul)

b) LaTeX wordt alleen gelijk aan nul als k < 0 of als k > n. Geen van deze voorwaarden kan echter optreden in de nested loop:

For n = 0 to LaTeX

For k = 0 to n
*doe iets*
Next k

Next n


c) LaTeX kan nooit nul worden want het is een macht.

Er zit iets mysterieus in die non-triviale nulpunten (en nu zelfs in de triviale).

Toch nog even terug naar de vorige functionaal vergelijking. Op dezelfde Wiki pagina staat:

"This equation has to be interpreted analytically if any factors in the equation have a zero or pole. For instance, when s is 2, the right side has a simple zero in the sine factor and a simple pole in the Gamma factor, which cancel out and leave a nonzero finite value. Similarly, when s is 0, the right side has a simple zero in the sine factor and a simple pole in the zeta factor, which cancel out and leave a finite nonzero value. When s is 1, the right side has a simple pole in the Gamma factor that is not cancelled out by a zero in any other factor, which is consistent with the zeta-function on the left having a simple pole at 1.)"

Kennelijk ligt het wat subtieler met getallen die nul worden en moet je ze analytisch benaderen (ergens anders las ik al dat de y waarden van de non-triviale nulpunten waarschijnlijk allemaal irrationaal zijn, dit riekt ook naar een analytische benadering).

Als bijv. de sinus in de (oude) vergelijking een duidelijke nul oplevert (bij s=2), dan kan die nul kennelijk toch nog gecompenseerd worden door een 'pole' in de Gamma functie. Er komt dan alsnog een eindig getal ongelijk aan nul uit ( [tex] frac{\pi^2}{6} I guess).

Misschien moet ik toch meer in limieten gaan denken.

#14

Agno

    Agno


  • >25 berichten
  • 100 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 30 juli 2008 - 14:54

P.S.

Toch even Wikipedia geraadpleegd en:

LaTeX

http://en.wikipedia....ial_coefficient

#15

The Black Mathematician

    The Black Mathematician


  • >100 berichten
  • 150 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 31 juli 2008 - 11:56

Ik bedoelde inderdaad die functie.

Kijk, een functionaalvergelijking is leuk, maar een direct voorschrift voor een functie is vaak toch handiger.
Voorbeeld: De enige continue oplossing LaTeX die voldoet aan de functionaalvergelijking LaTeX is LaTeX en je zult denk ik wel toegeven dat je uit de laatste makkelijker informatie trekt dan alleen uit de functionaalvergelijking.





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures