http://staff.science.uva.nl/~craats/RHnajaar.pdf
De Zeta functie op zich is vrij simpel.
\( \zeta (s) \)
= \( \frac{1}{1^s}\)
+ \( \frac{1}{2^s}\)
+ \( \frac{1}{3^s}\)
+ ... \( \frac{1}{n^s}\)
waarbij n = 1...\( \infty\)
Euler heeft zitten spelen met verschillende waarden voor s en vond (en bewees) hele mooie uitkomsten. Bijvoorbeeld:
\( \zeta (2) = \frac{\pi^2}{6}\)
en \( \zeta (4) = \frac{\pi^4}{90}\)
Opvallend is dat even waarden van s redelijk mooie uitkomsten geven, maar bijv. \( \zeta (3) \)
levert een 'lelijk' getal op (wat wel bewezen irrationaal is, maar van s= 5, 7, 9 etc. is echt helemaal niks fraais bekend).Riemann kwam op het idee om het domein van s uit te breiden naar alle complexe getallen en vond toen de differentiaalvergelijking:
\( \zeta (s) = 2^s \pi^{(s-1)} \sin(\frac{\pi s}{2}) \Gamma (1-s) \zeta(1-s) \)
(kan ook op andere manieren geschreven worden). Hij vond meteen de zogenaamde triviale nulpunten op -2, -4, -6 etc. (dan geldt dat:
\(\sin(\frac{\pi s}{2}) = 0 \)
) maar ook zgn. niet-triviale nulpunten die allemaal lijken te liggen op de lijn \( \frac{1}{2} \pm yi \)
. Als je kunt bewijzen dat alle non-triviale nulpunten inderdaad op deze lijn liggen dan ben je in één klap wereldberoemd.Stoute gedachte. Wat zou er gebeuren als we n niet van 1 tot
\( \infty\)
zouden laten lopen, maar van \( -\infty\)
...-1 en 1...+\( \infty\)
en dan de uitkomsten bij elkaar optellen.Stel:
\( \zeta (s) = \sum\frac{1}{n^s}, n = 1...\infty \)
\( \beta (s) = \sum\frac{1}{n^s}, n = -\infty...-1 \)
Het mooie is dat als je \( \zeta (s) \)
en \( \beta (s) \)
bij elkaar optelt dan krijg je voor s=oneven precies 0 (want \( \zeta (3) + \beta(3) = 0\)
) en voor s= even wordt het gewoon twee keer de waarde van \( \zeta (s) \)
(want \( \zeta (2) = \frac {\pi^2}{6} \)
en \( \beta (2) = \frac {\pi^2}{6} \)
dus samen \(\frac {\pi^2}{3} \)
). Dit levert dus ogenschijnlijk elegantere getallen op (en schoonheid is belangrijk in de wiskunde; het kan soms de intuïtie versterken 
)Kan dit echter ook voor complexe getallen? Jazeker. Met de hulp van een wiskundige op een Engels forum kwam ik al een stapje verder. Hij nam aan dat
\( (-1)^s = {(e^{\pi i})}^{s} = e^{\pi i s}\)
en breidde dit uit naar het volledige negatieve bereik door te vermenigvuldigen met \( \zeta (s) \)
(met de waarschuwing dat machten met negatieve grondtallen ambivalent kunnen zijn).\( \zeta (s) + \beta (s) = (1+e^{\pi i s}) \zeta(s) \)
Het mooie is dat dit precies klopt met de aanname dat als s= even dan is het twee keer
\( \zeta (s) \)
en als s= oneven dan is de uitkomst nul.Helaas geldt dit enkel voor Re(s) > 1 en mijn droom was om met de toppen van de
\( \beta (s) \)
functie een (misschien bewijsbaar) complement te vinden voor de (nog niet bewijsbare) non-triviale nulpunten van \( \zeta (s) \)
. Twee "lelijke" plaatjes die als het ware precies in elkaar pasten en iets "moois" opleveren. Daarvoor moet \( \beta (s) \)
echter wel eerst naar het volledige complexe domein worden uitgebreid en dat blijkt niet te kunnen?Misschien is het een volledig dood spoor, maar misschien heeft iemand een gouden idee hoe je
\( \beta (s) \)
ook net als \( \zeta (s) \)
naar het volledige complexe domein kunt uitbreiden (door \( \beta (s) \)
aan \( \beta (1-s) \)
te relateren)? Als dat kan dan ben ik benieuwd of \( \beta (s) \)
ook triviale en non-triviale nulpunten (of pieken) heeft op de lijn \( \frac{1}{2} \pm yi \)
. Een ander wild idee is om de n in
\( \zeta (s) = \sum\frac{1}{n^s}) \)
niet alleen uit te breiden naar \(\mathbb{Z} \)
(zoals hierboven staat beschreven), maar om ook het geheeltallige domein \(\mathbb{C} \)
te doorlopen.Sta open voor alle suggesties!
