Niet-commutatieve groep

Moderators: dirkwb, Xilvo

Forumregels
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
Reageer

Bericht 31-07-'08, 11:10

Jekke

Gebruikersavatar
Berichten: 997

Niet-commutatieve groep

Ik heb hier als opgave een Cayleytabel op te stellen van een niet commutatieve multiplicatieve groep met 6 elementen waaronder 1, a en b met a³=1 en b²=1. Is de groep cyclisch?

Probleem is dat ik de moeilijkheid niet echt zie, ik denk dat je de tabel zowat willekeurig mag invullen als je maar zorgt dat a³=1, b²=1 en dat elk element een inverse heeft en dat hij een assymetrie vertoont bvb

Code: Selecteer alles

  1 a b c d e 

_______________

1|1 a b c d e

a|a c e 1

b|b d 1

c|c 1   a

d|d 

e|e
en verder gewoon de tabel willekeurig invullen
Omhoog

Bericht 31-07-'08, 12:09

PeterPan

Re: Niet-commutatieve groep

Veronderstel dat de groep cyclisch is met voorbrenger
\(p\)
.

Dan kun je aantonen dat
\(b = p^3\)
en dat je voor
\(a\)
twee mogelijkheden hebt,
\(a=p^2\)
of
\(a = p^4\)
.

Probeer daarmee de Cayleytabel aan te vullen.

Lukt dat, dan hen je een cyclisch voorbeeld. Lijdt dat tot een tegenspraak. b.v. dat
\(p=1\)
, dan kan de groep niet cyclisch zijn.
Omhoog

Bericht 31-07-'08, 12:38

PeterPan

Re: Niet-commutatieve groep

Mijn antwoord slaat nergens op. :D

Je moet er juist van uitgaan dat de groep niet cyclisch is.
Omhoog

Bericht 31-07-'08, 13:43

Jekke

Gebruikersavatar
Berichten: 997

Re: Niet-commutatieve groep

PeterPan schreef:Mijn antwoord slaat nergens op. :D

Je moet er juist van uitgaan dat de groep niet cyclisch is.
Je moet er vanuitgaan dat de groep niet commutatief is, en volgens mij volgt daar meteen uit dat ze niet cyclisch is. Toch staat de vraag zo bij de opgave. Er staat ook nog bij de isomorfe deelgroep van de permutatiegroep te bepalen.

Maar ik zal mijn persoonlijke vraag/problematiek nog eens herformuleren:

Als ik a² gelijkstel aan c en dan de tabel initieel invul als volgt zodat de asymmetrie (niet-commutativiteit) en a³=1 en b²=1 voldaan zijn,

Code: Selecteer alles

  1 a b c d e 

_______________

1|1 a b c d e

a|a c e 1

b|b d 1

c|c 1   a

d|d 

e|e
en verder de tabel invul zodat er per rij/kolom geen dubbels voorkomen (regulariteit), heb ik dan iets over het hoofd gezien? een groepvoorwaarde (bvb associativiteit) ? of een voorwaarde uit de opgave (bvb het verder kloppen a³=1) ?
Omhoog

Bericht 31-07-'08, 14:23

PeterPan

Re: Niet-commutatieve groep

Niet commutatief en cyclisch sluiten elkaar uiteraard uit, dus stel ik het probleem even zo:

Stel een Cayleytabel op van een al dan niet commutatief multiplicatieve groep met 6 elementen waaronder 1, a en b met a³=1 en b²=1.

Is de groep cyclisch?

In dat geval geldt:
\(a\)
is zijn eigen inverse en
\(b\)
en
\(b^2\)
zijn elkaars inverse.

Dan moet er ook nog een element
\(ab\)
zijn.

Nu zijn
\(ab\)
en
\(b^2a\)
overduidelijk elkaars inverse.

Het is simpel na te gaan (onder de voorwaarde dat
\(1,a,b\)
3 verschillende elementen zijn) dat
\(1,a,b,b^2,ab,b^2a\)
allen verschillend zijn.

Dit zijn dus de elementen die we zoeken.

Merk op dat
\(ba\)
gelijk moet zijn aan 1 van deze elementen.

Het is weer simpel na te gaan dat alleen
\(ba=ab\)
mogelijk is.

Maar dan is de groep commutatief en
\(ab\)
is een voorbrenger van de groep (hetgeen alweer eenvoudig is na te gaan).

Nu bedenk ik me dat
\(ab\)
en
\(b^2a\)
niet alleen elkaars inverse zijn, maar ook aan elkaar gelijk kunnen zijn. Dat geval heb ik niet bekeken.
Omhoog

Bericht 31-07-'08, 14:41

PeterPan

Re: Niet-commutatieve groep

Als
\(ab = b^2a\)
, dan blijkt dat
\(ba = ab^2\)
.

We hebben dan inderdaad een niet commutatieve groep met elementen
\(1,a,b,b^2,ab,ba\)
Omhoog

Bericht 31-07-'08, 21:35

Jekke

Gebruikersavatar
Berichten: 997

Re: Niet-commutatieve groep

Je reacties werken heel verhelderend, alvast bedankt
Omhoog
Reageer

Terug naar “Wiskunde”