Springen naar inhoud

Niet-commutatieve groep


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Jekke

    Jekke


  • >250 berichten
  • 997 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 31 juli 2008 - 10:10

Ik heb hier als opgave een Cayleytabel op te stellen van een niet commutatieve multiplicatieve groep met 6 elementen waaronder 1, a en b met a=1 en b=1. Is de groep cyclisch?

Probleem is dat ik de moeilijkheid niet echt zie, ik denk dat je de tabel zowat willekeurig mag invullen als je maar zorgt dat a=1, b=1 en dat elk element een inverse heeft en dat hij een assymetrie vertoont bvb


1 a b c d e 
_______________
1|1 a b c d e
a|a c e 1
b|b d 1
c|c 1   a
d|d 
e|e

en verder gewoon de tabel willekeurig invullen

Veranderd door HolyCow, 31 juli 2008 - 10:12


Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 31 juli 2008 - 11:09

Veronderstel dat de groep cyclisch is met voorbrenger LaTeX .
Dan kun je aantonen dat LaTeX
en dat je voor LaTeX twee mogelijkheden hebt, LaTeX of LaTeX .
Probeer daarmee de Cayleytabel aan te vullen.
Lukt dat, dan hen je een cyclisch voorbeeld. Lijdt dat tot een tegenspraak. b.v. dat LaTeX , dan kan de groep niet cyclisch zijn.

#3

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 31 juli 2008 - 11:38

Mijn antwoord slaat nergens op. :D
Je moet er juist van uitgaan dat de groep niet cyclisch is.

#4

Jekke

    Jekke


  • >250 berichten
  • 997 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 31 juli 2008 - 12:43

Mijn antwoord slaat nergens op. :D
Je moet er juist van uitgaan dat de groep niet cyclisch is.


Je moet er vanuitgaan dat de groep niet commutatief is, en volgens mij volgt daar meteen uit dat ze niet cyclisch is. Toch staat de vraag zo bij de opgave. Er staat ook nog bij de isomorfe deelgroep van de permutatiegroep te bepalen.

Maar ik zal mijn persoonlijke vraag/problematiek nog eens herformuleren:

Als ik a gelijkstel aan c en dan de tabel initieel invul als volgt zodat de asymmetrie (niet-commutativiteit) en a=1 en b=1 voldaan zijn,

1 a b c d e 
_______________
1|1 a b c d e
a|a c e 1
b|b d 1
c|c 1   a
d|d 
e|e

en verder de tabel invul zodat er per rij/kolom geen dubbels voorkomen (regulariteit), heb ik dan iets over het hoofd gezien? een groepvoorwaarde (bvb associativiteit) ? of een voorwaarde uit de opgave (bvb het verder kloppen a=1) ?

#5

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 31 juli 2008 - 13:23

Niet commutatief en cyclisch sluiten elkaar uiteraard uit, dus stel ik het probleem even zo:

Stel een Cayleytabel op van een al dan niet commutatief multiplicatieve groep met 6 elementen waaronder 1, a en b met a=1 en b=1.
Is de groep cyclisch?

In dat geval geldt:
LaTeX is zijn eigen inverse en LaTeX en LaTeX zijn elkaars inverse.
Dan moet er ook nog een element LaTeX zijn.
Nu zijn LaTeX en LaTeX overduidelijk elkaars inverse.
Het is simpel na te gaan (onder de voorwaarde dat LaTeX 3 verschillende elementen zijn) dat
LaTeX allen verschillend zijn.
Dit zijn dus de elementen die we zoeken.
Merk op dat LaTeX gelijk moet zijn aan 1 van deze elementen.
Het is weer simpel na te gaan dat alleen LaTeX mogelijk is.
Maar dan is de groep commutatief en
LaTeX is een voorbrenger van de groep (hetgeen alweer eenvoudig is na te gaan).

Nu bedenk ik me dat LaTeX en LaTeX niet alleen elkaars inverse zijn, maar ook aan elkaar gelijk kunnen zijn. Dat geval heb ik niet bekeken.

Veranderd door PeterPan, 31 juli 2008 - 13:33


#6

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 31 juli 2008 - 13:41

Als LaTeX , dan blijkt dat LaTeX .
We hebben dan inderdaad een niet commutatieve groep met elementen
LaTeX

#7

Jekke

    Jekke


  • >250 berichten
  • 997 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 31 juli 2008 - 20:35

Je reacties werken heel verhelderend, alvast bedankt





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures