Nee, het is niet fout.
\(F(s) = \int_0^\infty e^{-s t} f(t) dt\)
Bekijk nu:
\(L(f(t-a)) = \int_0^\infty e^{-s t} f(t - a) dt = \int_{-a}^\infty e^{-s (u + a)} f(u) du = \int_{-a}^0 e^{-s (u + a)} f(u) du + \int_0^\infty e^{-s (u + a)} f(u) du\)
\(= e^{-a s} \int_{-a}^0 e^{-s u} f(u) du + e^{-a s} \int_0^\infty e^{-s u} f(u) du = e^{-a s} \int_{-a}^0 e^{-s u} f(u) du + e^{-a s} F(s)\)
Als
\(f(u) = 0\) voor
\(u < 0\) dan zal gelden:
\(L(f_a(t)) = e^{-a s} F(s)\)
\(f(u) = 0\) voor
\(u < 0\) betekent
\(f(t) = 0\) voor
\(t < a\). Dit is dus precies wat beweerd wordt.
De verschuiving die hier besproken wordt, werkt alleen anders dan je denkt. Dit is wat jij doet: je neemt de volgende functie f:
\(f(t) = \left\{ \begin{array}{ccc} 0 & \mbox{ met } & t < 0 \\ (t-1)^2 & \mbox{ met } & t \geq 0 \end{array}\)
Dan pas je de verschuiving toe. Daarmee bereken je dus:
\(f_1(t) = \left\{ \begin{array}{ccc} 0 & \mbox{ met } & t < 1 \\ (t-2)^2 & \mbox{ met } & t \geq 1 \end{array}\)
Dit is echter niet wat gevraagd wordt.