Springen naar inhoud

Differentiaalvergelijking


  • Log in om te kunnen reageren

#1

phenomen

    phenomen


  • >100 berichten
  • 220 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 09 augustus 2008 - 14:09

Hallo,

Ik heb een probleem bij deze differentiaalvergelijking met constante coefficienten:

y'' - 2*y' +y = x^2*e^(3*x)

de homogene oplossing die ik vind is : karakteristieke vgl: (D-1)^2 met fundamentele oplossing x*exp(x)

dan zoek ik de particuliere oplossing

de differentiaaloperator voor x^2*exp(3*x) is gelijk aan (D-3)^3 (is dit fout?)

dus de particuliere oplossing is yp= a*x^2*exp(3*x)
deze oplossing leid ik af(2 maal) en vul dan in in de vergelijking

Nu is het probleem (als iemand nog volgt :D ) dat ik mijn a niet kan bepalen aangezien ik bij het invullen uiteindelijk krijg:

2*a*exp(3*x) + 8*a*x*exp(3x) + 4*a*x^2*exp(3x)= x^2*exp(3x)

ziet iemand of ik de foute particuliere oplossing heb gekozen of wat ik fout doe?

groeten

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 09 augustus 2008 - 14:44

Je homogene oplossing is een lineaire combinatie van exp(x) en x.exp(x), met twee constanten.

Voor je particuliere oplossing moet je voorstel zo algemeen mogelijk zijn, door die x≤ wordt dan:

LaTeX
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#3

phenomen

    phenomen


  • >100 berichten
  • 220 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 09 augustus 2008 - 15:07

Bedankt daar help je me al een heel stuk mee vooruit!

dus als ik het goed begrijp is dus ook mijn homogene oplossing dan niet a*x*exp(x) maar (a*x+b)*exp(x)


dus de algemene oplossing is van de vorm :

y= (a*x+b)*exp(x) + (cx^2+dx+e)*exp(x)

?

#4

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 09 augustus 2008 - 15:15

dus als ik het goed begrijp is dus ook mijn homogene oplossing dan niet a*x*exp(x) maar (a*x+b)*exp(x)

Inderdaad; bij een k-de orde differentiaalvergelijking krijg je ook k constanten; hier orde 2.

dus de algemene oplossing is van de vorm :

y= (a*x+b)*exp(x) + (cx^2+dx+e)*exp(3x)

Bijna, let op de rode toevoeging.
Zonder beginvoorwaarden blijven a en b onbekend; c, d en e kan je bepalen.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#5

phenomen

    phenomen


  • >100 berichten
  • 220 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 09 augustus 2008 - 18:12

Dat is een zeer grote opheldering,(plots komen de oefeningen uit) want ik doe dit blijkbaar al een tijdje fout.

bedankt TD

#6

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 09 augustus 2008 - 18:14

Graag gedaan, succes nog!
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#7

phenomen

    phenomen


  • >100 berichten
  • 220 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 10 augustus 2008 - 16:22

Iets verderop in mijn boek kom ik weer iets tegen dat ik niet begrijp. Ik denk dat het gelijkaardig is aan wat ik hier boven vroeg.

Ik heb de vgl y'' + 400y = -20*cos(20t)

particuliere oplossing van deze vgl is volgens mij: A*cos(20t)+B*sin(20t) (Methode vd onbepaalde coŽfficiŽnten)

maar volgens mijn boek t*(A*cos(20t)+B*sin(20t))

weet iemand waarom dit zo is?

groetjes

Veranderd door phenomen, 10 augustus 2008 - 16:23


#8

phenomen

    phenomen


  • >100 berichten
  • 220 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 10 augustus 2008 - 19:29

als er iemand een idee heeft, zeg maar op want ik heb morgen examen. (eigen schuld natuurlijk)

#9

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 10 augustus 2008 - 19:35

particuliere oplossing van deze vgl is volgens mij: A*cos(20t)+B*sin(20t) (Methode vd onbepaalde coŽfficiŽnten)


Het is een oplossing van y'' + 400y = 0

Veranderd door PeterPan, 10 augustus 2008 - 19:37


#10

phenomen

    phenomen


  • >100 berichten
  • 220 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 10 augustus 2008 - 19:46

dat klopt!
nu heb ik hem, bedankt!
doordat mijn homogene opl fout was ging mijn particuliere opl ook in het honderd

net op tijd! :D

Veranderd door phenomen, 10 augustus 2008 - 19:49


#11

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 10 augustus 2008 - 20:13

Misschien is het al duidelijk, maar voor de zekerheid: je voorstel voor een particuliere oplossing kan hier niet gewoon A*cos(20t)+B*sin(20t) zijn, omdat dit al vervat zit in de algemene (homogene) oplossing. De remedie is vermenigvuldigen met t (of indien nodig, t≤ enz).
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#12

phenomen

    phenomen


  • >100 berichten
  • 220 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 10 augustus 2008 - 20:19

ja,

je moet de differentiaaloperatoren vermenigvuldigen. ik had als homogene oplossing de D + 400 gesplitst in

(D-20i)(D+20i) (met i imaginaire eenheid.)

blijkbaar moet dit toch gezien worden als D^2 + 20^2

dus ik had homogene oplossing (A*exp(20i)+B*exp(-20i) ) , waardoor ik niet doorhad dat ik een t moest bijvoegen bij de particuliere.

nu hoop ik dat ik geen nieuwe dingen als dit tegenkom want nu is het te laat :D

bedankt voor de hulp

Veranderd door phenomen, 10 augustus 2008 - 20:20


#13

phenomen

    phenomen


  • >100 berichten
  • 220 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 11 augustus 2008 - 14:43

examenvraag: y'' + 4y = 3+2cos(t)^2

verdraaid gelijkaardig aan degene die ik hier heb gepost. Bedankt wetenschapsforum!

#14

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 11 augustus 2008 - 14:55

Graag gedaan! Goed gegaan dan, neem ik aan: proficiat!
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures