Springen naar inhoud

[fysica] Oef. kwantummechanica


  • Log in om te kunnen reageren

#1

phoenixofflames

    phoenixofflames


  • >250 berichten
  • 503 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 13 augustus 2008 - 17:59

de opgave
http://i33.tinypic.com/28w2adv.jpg

deel van mijn oplossing
http://i34.tinypic.com/2zji0yg.jpg

Nu heb ik enkele vragen
1/ kan B niet = +- 1 en dan nog vermenigvuldigd met een e^(ia) met a een reŽel getal?
Kan ik vrij kiezen tussen de + en -?

2/ ik denk dat het geen stationaire toestand is omdat P nog afhangt van de tijd..

3/ aangezien het deeltje binnen de potentiaalpunt moet blijven en er symmetrie is in de put...
is P+ (t) dan niet gelijk aan P- (t) ? en P- (t) = 1-P+(t) en dus P- = P+ = 1/2 ? Vergeet ik iets?
Hoe bereken ik eigenlijk die P+ en P- ?

5/ is j(x=0,t) niet = 0.. er is dan toch geen x afhankelijkheid meer en de afgeleides worden = 0..
dan is dP- / dt = 0 en P- een constante.. Is dat deeltje dan volledig gedelocaliseerd? :D

Er zullen waarschijnlijk nog een paar andere vragen volgen..

Alvast bedankt!

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Phys

    Phys


  • >5k berichten
  • 7556 berichten
  • VIP

Geplaatst op 13 augustus 2008 - 21:20

Ik heb er even vluchtig naar gekeken; kwantummechanica is alweer een hele tijd geleden dus je zult niet zoveel aan me hebben...(in september begin ik weer en volg ik het vak QM2)

1/ kan B niet = +- 1 en dan nog vermenigvuldigd met een e^(ia) met a een reŽel getal?
Kan ik vrij kiezen tussen de + en -?

Je kunt inderdaad vrij kiezen tussen + en -, vaak kiest men uit gemak +. De enige voorwaarde die volgt uit de normering is dat |B|^2=1, dus volgens mij heb je ook gelijk met de vermenigvuldiging met exp omdat |exp(ia)|=1. Ik herinner met niet dat ik daar ooit bij stil gestaan heb eerlijk gezegd...misschien was bij ons vaak gegeven dat de constante reeel moet zijn ofzo.

3/ aangezien het deeltje binnen de potentiaalpunt moet blijven en er symmetrie is in de put...
is P+ (t) dan niet gelijk aan P- (t) ? en P- (t) = 1-P+(t) en dus P- = P+ = 1/2 ? Vergeet ik iets?

Volgens mij vergeet je het feit dat de golffunctie de kansverdeling bepaalt, en niet V(x). Het klopt dat het deeltje binnen de put moet blijven, maar de golffunctie geeft aan hoe de kansen zich binnen die put verhouden.
Never express yourself more clearly than you think.
- Niels Bohr -

#3

Andy

    Andy


  • >250 berichten
  • 294 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 13 augustus 2008 - 22:27

Hallo,

1/ het begin lijkt inderdaad goed, je mag B=exp(i c) kiezen, als c=pi heb je ook B=-1...

2/ inderdaad, 't is niet stationair

3/ hier loopt het een beetje fout denk ik. Het eenvoudigste is om eerst grondtoestand en 1e aangeslagen toestand te bepalen. (uiteindelijk moet je de afgeleide berekenen, dus ik veronderstel dat je dat expliciet moet doen?)

phi1= 1/sqrt(a)*cos(pi/(2*a)*x)
phi2= 1/sqrt(a)*sin(pi/(2*a)*x)
Psi= (phi1 + B phi2)/sqrt(2)

nu realiseer ik mij dat het niet echt NODIG is, maar als je deze grafieken eens met maple plot (of een ander programma) dan heb je mss wat meer voeling....

Dat zijn nu de golffuncties. Je kent echter de relatie tussen de waarschijnlijkheidsdichtheid en de golffunctie:
P(x,t)=|Psi(x,t)|^2

Om nu P- of P+ te berekenen, is al wat we moeten doen, de waarschijnlijkheidsdichtheidsfunctie integreren over het gewenste interval ([-a 0] en [0 a] respectievelijk). Wanneer je grafiekjes maakt van P(x) op t=0, met B=exp(i*c), en je varieert c een beetje, zal je duidelijk merken dat de waarschijnlijkheidsdistributie verandert. Dus de kans om het in de linkerhelft of in rechterhelft te vinden, hangt af van B! zelfs al kies je B=+/-1, dan nog zal je zien dat de situatie niet symmetrisch is voor 1 bepaalde B.

Doe de berekening eens en je zal ook tot extra inzichten komen in verband met de volgende vragen...

#4

phoenixofflames

    phoenixofflames


  • >250 berichten
  • 503 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 14 augustus 2008 - 10:58

Moet phi 2 niet = 1/sqrt(a)*sin(pi/(a)*x)
Om Psi(x,t) te berekenen, moet ik dan expliciet de waarden voor de energie invullen?

#5

phoenixofflames

    phoenixofflames


  • >250 berichten
  • 503 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 14 augustus 2008 - 12:04

ik heb P+, P-, dP+/dt, dP-/dt, en j(x=0,t) uitgerekend en dP-/dt = j(x=0,t).. ik heb dus ergens een - verloren.. maar het belangrijkste is dat de berekeningen min of meer kloppen...

ik kom uit:
j(x=0,t) = -[h/(4ma≤)]*sin[(3hpit)/(16ma≤)]

j(x=0,t) = + dP-/dt
j(x=0,t) = -dP+ /dt
de stroomdichtheid op x = 0 is tegengesteld aan de verandering van de waarschijnlijkheid tss x=0 en x=-a
wat kunnen we hier nu uit afleiden?

Veranderd door phoenixofflames, 14 augustus 2008 - 12:05


#6

Andy

    Andy


  • >250 berichten
  • 294 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 14 augustus 2008 - 13:46

phi2 is inderdaad wat jij zegt, foutje bij copy-paste :-).
op Psi te tekenen op een willekeurig tijdstip moet je inderdaad eerst de energie uitrekenen. Om psi te tekenen op t=0 maakt het niet veel uit...
't is wel leuk als je een animatie kan maken waarin je de waarschijnlijkheidsdichtheid in functie van de tijd laat plotten... (of eventueel enkel de golffunctie...)

Je moet eens nadenken:
als de waarschijnlijkheid om een deeltje in de linkerhelft terug te vinden stijgt, wat betekent dit? wat betekent het als P- daalt in de tijd? Hou rekening mee dat P- + P+ = 1 (normering van uit vraag 1!)
En je gaf in je vraagstelling al aan dat buiten de potentiaalput de kans om het deeltje terug te vinden nul is, dus waar gaat "P-" naartoe?

Antwoord op je vragen als je met de begeleidende vragen van hierboven niet komt.
Als P- daalt in de tijd, wil dat zeggen dat het minder waarschijnlijk is het links te vinden, wat wil zeggen dat er grotere waarschijnlijkheid is dat het deeltje rechts te vinden is, P+ stijgt dus. Wanneer P- =0 is, zou je zeggen "het deeltje zit in de rechterhelft van de put". Als er op t=0 bvb P->>P+, dan zegt men dat "het deeltje in de linkerhelft" zit (is niet 100% correct, maar bijna...). Als de tijd nu stijgt, zal P+ stijgen, tot je aan de andere situatie komt. Gevolg is dat je zegt dat het deeltje in de rechterhelft zit. Met andere woorden, het deeltje stroomt van links naar rechts... op die manier heb je een link tussen afgeleide van P- en j. De afgeleide van P- is eigenlijk de stroomdichtheid naar rechts, terwijl waarschijnlijk j gedefinieerd is als de stroomdichtheid naar links.

ik weet eigenlijk niet juist meer de definitie is van j, dus ik kan moeilijk controlleren waar je tekenfout zit.. misschien zelfs bij de definitie (is j gedefinieerd als stroom naar links of als stroom naar rechts?

#7

phoenixofflames

    phoenixofflames


  • >250 berichten
  • 503 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 14 augustus 2008 - 17:32

het belangrijkste is voor mij dat ik de werkwijze doorheb :D

#8

phoenixofflames

    phoenixofflames


  • >250 berichten
  • 503 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 15 augustus 2008 - 11:44

Bedankt ;)

Ik zit eigenlijk alweer vast :P
Deze keer gaat het om een eendimensionele harmonische oscillator

de opgave
http://i35.tinypic.com/2s15gsp.jpg

deel oplossing
http://i33.tinypic.com/2hhhe2v.jpg

Of ik nu de expliciete uitdrukking voor de grondtoestand en de 1e aangeslagen toestand invul of niet, dan zou ik toch hetzelfde moeten uitkomen.
Hoe kan ik nu <x> maximaliseren? ik kan niets afleiden want het zijn constanten en voor de rest valt er niet te veel te maximaliseren... :D
Ik veronderstel toch dat ik ergens een uitdrukking voor die constanten zal moeten krijgen...

Alvast bedankt

Veranderd door phoenixofflames, 15 augustus 2008 - 11:44


#9

Andy

    Andy


  • >250 berichten
  • 294 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 15 augustus 2008 - 17:18

hallo,

er staat "een" lineaire combinatie. Met andere woorden, je hebt vrijheid in A en B ťn in de fase van A en B (eigenlijk enkel het faseverschil)... zoals je hebt uitgerekend (nagekeken, maar mss niet supergrondig, ma da zal wel ok zijn), moet je A.B*+A*.B=maximaal hebben en |A|^2+|B|^2=1.

noem |A|=a, |B|=b en de fases t en u

a.b.exp(i(t-u)) + a.b.exp(i(u-t)) = max

1/
exp(i(t-u))+exp(-i(t-u))
= 2*cos(t-u)

=> fase A en fase B even groot

2/
a.b = max
a+b=1
a=b-1
(b-1)b =max
2b-1=0
b=1/2

denk dat dit de bedoeling is..?

#10

phoenixofflames

    phoenixofflames


  • >250 berichten
  • 503 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 15 augustus 2008 - 19:53

klopt dat wel?
|A|≤ + |B|≤ = a≤ + b≤ = 1 nee?

Veranderd door phoenixofflames, 15 augustus 2008 - 19:54


#11

Andy

    Andy


  • >250 berichten
  • 294 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 16 augustus 2008 - 11:54

jup, sorry, dwaze fout van mij... maar redenering blijft dan dezelfde... twee vgln, de ene invullen in de andere en dan maximum bepalen...sorry voor de nogal dwaze fout...

#12

phoenixofflames

    phoenixofflames


  • >250 berichten
  • 503 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 16 augustus 2008 - 13:49

zo moet het dan?
http://i36.tinypic.com/swy2ya.jpg
de rest van de oef is 'makkelijk'
Bedankt, over naar een andere oef :D





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures