Springen naar inhoud

Vraagjes over de metriek


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Rudeoffline

    Rudeoffline


  • >250 berichten
  • 624 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 14 augustus 2008 - 10:26

Hoi, ik heb een vraagje betreffende de metriek van variŽteiten. Ik ben voor m'n studie veel bezig geweest met differentiaalmeetkunde en algemene relativiteit, maar er zijn nog een paar zaken die ik nog niet helemaal begrijp.

Ik snap dat de metriek kan worden gezien als een lineaire map tussen je raakruimte V en je coraakruimte V*

g: V --> V*

Ik snap ook dat de metriek kan worden gezien als een symmetrische lineaire map als

g: VxV --> R^n

Ik snap ook dat een vector kan worden gezien als een differentiaaloperator werkende op functies gedefinieerd op je variŽteit. Dit laat je denken dat de set van differentiaaloperatoren LaTeX een basis vormen voor je vectoren omdat ze de raakruimte in een punt p opspannen, en dat een vector V in zo'n punt p geschreven kan worden als

LaTeX

In R^n is er een injectie tussen vectoren en directionele afgeleiden. Allemaal duidelijk. Maar dan rijst bij mij de vraag: wat is de norm van zo'n basisvector? De componenten van de metriek worden ook gedefinieerd als het inproduct tussen 2 basisvectoren LaTeX , dus

LaTeX

waarbij het inproduct het "gewone cartesische product" is. Als we bijvoorbeeld overgaan van cartesische coordinaten naar poolcoordinaten in R^2 , dan hebben we

LaTeX

Om dan de metriek uit te rekenen in poolcoordinaten krijg je

LaTeX

Hier moet dan 1 uitkomen, maar wat is bijvoorbeeld de numerieke waarde van

LaTeX

?

Ik heb dus een beetje problemen met de overgang tussen de wiskundige definitie van basisvectoren ( die ik volgens mij goed begrijp ) en numerieke berekeningen doen. Ik snap dat je kunt definieren dat de cartesische basisvectoren orthonormaal zijn, maar definieer je dan simpelweg

LaTeX

Want hier heb je juist weer de metriek in cartesische componenten voor nodig die gedefinieerd wordt door de basisvectoren.

Nog een vraag betreffende dit: de Minkowski ruimte-tijd heeft de metriek LaTeX . Dit zou dus betekenen dat de basisvectoren van je tijd, LaTeX , zuiver imaginair moeten zijn volgens bovenstaande definitie (in Cartesische coordinaten zou je dus LaTeX hebben). Nou kreeg ik een tijdje geleden te horen dat dat nogal ouderwets is om dat zo op te vatten, maar volgens de definitie kan dit toch niet anders zijn?

Hoop dat m'n vragen duidelijk zijn :D

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.




0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures