Limiet

Moderators: dirkwb, Xilvo

Reageer
Gebruikersavatar
Berichten: 3.330

Limiet

Zoek volgende limiet:
\(\lim_{n\rightarrow+\infty}(1+n+n²)^{\frac{1}{n}}=\)
Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?

Berichten: 8.614

Re: Limiet

Alhoewel ik nog nooit een dergelijke limiet heb berekend zou ik het als volgt aanpakken:
\(\lim_{n \to +\infty} (1+n+n^2)^{\frac{1}{n}} & = & \lim_{n \to +\infty} \sqrt[n]{1 + n + n^2}\)
\(= \lim_{n \to +\infty} \sqrt[n]{n^2 \left(\frac{1}{n} + \frac{1}{n^2}\right)}\)
\(= \lim_{n \to +\infty} \sqrt[n]{n^2} \cdot \sqrt[n]{\frac{1}{n} + \frac{1}{n^2}}\)

\(= \lim_{n \to +\infty} n^{\frac{2}{n}} \cdot \lim_{n \to +\infty} \sqrt[n]{\frac{1}{n} + \frac{1}{n^2}}\)
\(= 1 \cdot 1\)
\(= 1\)
Geloof niet alles wat je leest.


Heb jij verstand van PHP? Word Technicus en help mee om Wetenschapsforum nog beter te maken!

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Limiet

Ander trucje (dan hoef je ook niet van die laatste limieten uit te gaan): x = exp(log(x)) en zo verder.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Berichten: 8.614

Re: Limiet

Dat trucje is mij niet bekend, maar uit jouw antwoord maak ik op dat mijn oplossing correct is, niet?

PS: LaTeX-probleempje: Om mijn antwoord mooi te presenteren wilde ik het in de arrayomgeving zetten:

Code: Selecteer alles

[tex]

\begin{array}{rcl}

\lim_{n \to +\infty} (1+n+n^2)^{\frac{1}{n}} & = & \lim_{n \to +\infty} \sqrt[n]{1 + n + n^2} \\

& = & \lim_{n \to +\infty} \sqrt[n]{n^2 \left(\frac{1}{n} + \frac{1}{n^2}\right)} \\

& = & \lim_{n \to +\infty} \sqrt[n]{n^2} \cdot \sqrt[n]{\frac{1}{n} + \frac{1}{n^2}} \\

 

& = & \lim_{n \to +\infty} n^{\frac{2}{n}} \cdot \lim_{n \to +\infty} \sqrt[n]{\frac{1}{n} + \frac{1}{n^2}} \\

& = & 1 \cdot 1 \\

& = & 1

\end{array}

[/tex]
De specificaties van de limiet komen dan echter niet onder, maar naast het limietsymbool te staan, zoals een normale subscript:
\(\begin{array}{rcl}\lim_{n \to +\infty} (1+n+n^2)^{\frac{1}{n}} & = & \lim_{n \to +\infty} \sqrt[n]{1 + n + n^2} \\& = & \lim_{n \to +\infty} \sqrt[n]{n^2 \left(\frac{1}{n} + \frac{1}{n^2}\right)} \\& = & \lim_{n \to +\infty} \sqrt[n]{n^2} \cdot \sqrt[n]{\frac{1}{n} + \frac{1}{n^2}} \\ & = & \lim_{n \to +\infty} n^{\frac{2}{n}} \cdot \lim_{n \to +\infty} \sqrt[n]{\frac{1}{n} + \frac{1}{n^2}} \\& = & 1 \cdot 1 \\& = & 1\end{array}\)
Wat doe ik fout?
Geloof niet alles wat je leest.


Heb jij verstand van PHP? Word Technicus en help mee om Wetenschapsforum nog beter te maken!

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Limiet

Dat trucje is mij niet bekend, maar uit jouw antwoord maak ik op dat mijn oplossing correct is, niet?
Het antwoord is inderdaad 1.
Wat doe ik fout?
Je doet niks fout: de array omgeving gebruikt voor 'te grote' symbolen automatisch de inline omgeving (die je hier krijgt via de itex tags). Je kan LaTeX forceren om het toch 'normaal' weer te geven met het commando \displaystyle (hieronder als voorbeeld bij de eerste limiet):
\(\begin{array}{rcl}\displaystyle \lim_{n \to +\infty} (1+n+n^2)^{\frac{1}{n}} & = & \lim_{n \to +\infty} \sqrt[n]{1 + n + n^2} \\& = & \lim_{n \to +\infty} \sqrt[n]{n^2 \left(\frac{1}{n} + \frac{1}{n^2}\right)} \\& = & \lim_{n \to +\infty} \sqrt[n]{n^2} \cdot \sqrt[n]{\frac{1}{n} + \frac{1}{n^2}} \\& = & \lim_{n \to +\infty} n^{\frac{2}{n}} \cdot \lim_{n \to +\infty} \sqrt[n]{\frac{1}{n} + \frac{1}{n^2}} \\& = & 1 \cdot 1 \\& = & 1\end{array}\)
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Berichten: 8.614

Re: Limiet

Je doet niks fout: de array omgeving gebruikt voor 'te grote' symbolen automatisch de inline omgeving (die je hier krijgt via de itex tags). Je kan LaTeX forceren om het toch 'normaal' weer te geven met het commando \displaystyle (hieronder als voorbeeld bij de eerste limiet):
Ik wist dat ik al eens van de oplossing gehoord had, maar ik was de naam kwijt: displaystyle! Bedankt!
Geloof niet alles wat je leest.


Heb jij verstand van PHP? Word Technicus en help mee om Wetenschapsforum nog beter te maken!

Gebruikersavatar
Berichten: 6.905

Re: Limiet

Ander trucje (dan hoef je ook niet van die laatste limieten uit te gaan): x = exp(log(x)) en zo verder.
dan even voor Klintersaas:
\(L=\lim_{n \to +\infty} (1+n+n^2)^{\frac{1}{n}} \)

\(\ln L=\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n} \ln(1+n+n^2) =0\)


dus L=1
Het vel van de beer kunnen verkopen vraagt moeite tenzij deze dood voor je neervalt. Die kans is echter klein dus moeten we zelf moeite doen.

Berichten: 503

Re: Limiet

das mooi gevonden

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Limiet

Standaardtrucje voor onbepaaldheden afkomstig van functies die je kan schrijven als f(x)^g(x).
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Berichten: 8.614

Re: Limiet

jhnbk schreef:dan even voor Klintersaas:
\(L=\lim_{n \to +\infty} (1+n+n^2)^{\frac{1}{n}} \)

\(\ln L=\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n} \ln(1+n+n^2) =0\)


dus L=1
Bedankt, maar ik zie eigenlijk niet waarom eruit volgt dat de limiet 1 is. Ik ben namelijk niet zo vertrouwd met logaritmen.
Geloof niet alles wat je leest.


Heb jij verstand van PHP? Word Technicus en help mee om Wetenschapsforum nog beter te maken!

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Limiet

Eventueel pas je nu nog de stelling van l'Hôpital toe om in te zien dat:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\ln \left( {1 + n + n^2 } \right)}}{n} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2n + 1}}{{1 + n + n^2 }} = 0\)
Maar dit is ln(L), zodat de limiet e^0 = 1 is.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Gebruikersavatar
Berichten: 7.556

Re: Limiet

Bedankt, maar ik zie eigenlijk niet waarom eruit volgt dat de limiet 1 is. Ik ben namelijk niet zo vertrouwd met logaritmen.
Intuïtief: een macht (n^-1) daalt sneller dan dat log (log(1+n+n^2)) stijgt, dus 1/n domineert en dat gaat naar nul. Formeel: zie TD
Never express yourself more clearly than you think.

- Niels Bohr -

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Limiet

Of iets ertussen: voor n naar oneindig kan je 1 en n verwaarlozen ten opzichte van n².

Dan volgt: ln(1+n+n²)/n ~ ln(n²)/n = 2.ln(n)/n ~ ln(n)/n -> 0 voor n naar oneindig.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Reageer