Limiet
-
- Berichten: 8.614
Re: Limiet
Alhoewel ik nog nooit een dergelijke limiet heb berekend zou ik het als volgt aanpakken:
\(\lim_{n \to +\infty} (1+n+n^2)^{\frac{1}{n}} & = & \lim_{n \to +\infty} \sqrt[n]{1 + n + n^2}\)
\(= \lim_{n \to +\infty} \sqrt[n]{n^2 \left(\frac{1}{n} + \frac{1}{n^2}\right)}\)
\(= \lim_{n \to +\infty} \sqrt[n]{n^2} \cdot \sqrt[n]{\frac{1}{n} + \frac{1}{n^2}}\)
\(= \lim_{n \to +\infty} n^{\frac{2}{n}} \cdot \lim_{n \to +\infty} \sqrt[n]{\frac{1}{n} + \frac{1}{n^2}}\)
\(= 1 \cdot 1\)
\(= 1\)
Geloof niet alles wat je leest.
Heb jij verstand van PHP? Word Technicus en help mee om Wetenschapsforum nog beter te maken!
Heb jij verstand van PHP? Word Technicus en help mee om Wetenschapsforum nog beter te maken!
- Berichten: 24.578
Re: Limiet
Ander trucje (dan hoef je ook niet van die laatste limieten uit te gaan): x = exp(log(x)) en zo verder.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Berichten: 8.614
Re: Limiet
Dat trucje is mij niet bekend, maar uit jouw antwoord maak ik op dat mijn oplossing correct is, niet?
PS: LaTeX-probleempje: Om mijn antwoord mooi te presenteren wilde ik het in de arrayomgeving zetten:
De specificaties van de limiet komen dan echter niet onder, maar naast het limietsymbool te staan, zoals een normale subscript:
PS: LaTeX-probleempje: Om mijn antwoord mooi te presenteren wilde ik het in de arrayomgeving zetten:
Code: Selecteer alles
[tex]
\begin{array}{rcl}
\lim_{n \to +\infty} (1+n+n^2)^{\frac{1}{n}} & = & \lim_{n \to +\infty} \sqrt[n]{1 + n + n^2} \\
& = & \lim_{n \to +\infty} \sqrt[n]{n^2 \left(\frac{1}{n} + \frac{1}{n^2}\right)} \\
& = & \lim_{n \to +\infty} \sqrt[n]{n^2} \cdot \sqrt[n]{\frac{1}{n} + \frac{1}{n^2}} \\
& = & \lim_{n \to +\infty} n^{\frac{2}{n}} \cdot \lim_{n \to +\infty} \sqrt[n]{\frac{1}{n} + \frac{1}{n^2}} \\
& = & 1 \cdot 1 \\
& = & 1
\end{array}
[/tex]
\(\begin{array}{rcl}\lim_{n \to +\infty} (1+n+n^2)^{\frac{1}{n}} & = & \lim_{n \to +\infty} \sqrt[n]{1 + n + n^2} \\& = & \lim_{n \to +\infty} \sqrt[n]{n^2 \left(\frac{1}{n} + \frac{1}{n^2}\right)} \\& = & \lim_{n \to +\infty} \sqrt[n]{n^2} \cdot \sqrt[n]{\frac{1}{n} + \frac{1}{n^2}} \\ & = & \lim_{n \to +\infty} n^{\frac{2}{n}} \cdot \lim_{n \to +\infty} \sqrt[n]{\frac{1}{n} + \frac{1}{n^2}} \\& = & 1 \cdot 1 \\& = & 1\end{array}\)
Wat doe ik fout?Geloof niet alles wat je leest.
Heb jij verstand van PHP? Word Technicus en help mee om Wetenschapsforum nog beter te maken!
Heb jij verstand van PHP? Word Technicus en help mee om Wetenschapsforum nog beter te maken!
- Berichten: 24.578
Re: Limiet
Het antwoord is inderdaad 1.Dat trucje is mij niet bekend, maar uit jouw antwoord maak ik op dat mijn oplossing correct is, niet?
Je doet niks fout: de array omgeving gebruikt voor 'te grote' symbolen automatisch de inline omgeving (die je hier krijgt via de itex tags). Je kan LaTeX forceren om het toch 'normaal' weer te geven met het commando \displaystyle (hieronder als voorbeeld bij de eerste limiet):Wat doe ik fout?
\(\begin{array}{rcl}\displaystyle \lim_{n \to +\infty} (1+n+n^2)^{\frac{1}{n}} & = & \lim_{n \to +\infty} \sqrt[n]{1 + n + n^2} \\& = & \lim_{n \to +\infty} \sqrt[n]{n^2 \left(\frac{1}{n} + \frac{1}{n^2}\right)} \\& = & \lim_{n \to +\infty} \sqrt[n]{n^2} \cdot \sqrt[n]{\frac{1}{n} + \frac{1}{n^2}} \\& = & \lim_{n \to +\infty} n^{\frac{2}{n}} \cdot \lim_{n \to +\infty} \sqrt[n]{\frac{1}{n} + \frac{1}{n^2}} \\& = & 1 \cdot 1 \\& = & 1\end{array}\)
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Berichten: 8.614
Re: Limiet
Ik wist dat ik al eens van de oplossing gehoord had, maar ik was de naam kwijt: displaystyle! Bedankt!Je doet niks fout: de array omgeving gebruikt voor 'te grote' symbolen automatisch de inline omgeving (die je hier krijgt via de itex tags). Je kan LaTeX forceren om het toch 'normaal' weer te geven met het commando \displaystyle (hieronder als voorbeeld bij de eerste limiet):
Geloof niet alles wat je leest.
Heb jij verstand van PHP? Word Technicus en help mee om Wetenschapsforum nog beter te maken!
Heb jij verstand van PHP? Word Technicus en help mee om Wetenschapsforum nog beter te maken!
- Berichten: 6.905
Re: Limiet
dan even voor Klintersaas:Ander trucje (dan hoef je ook niet van die laatste limieten uit te gaan): x = exp(log(x)) en zo verder.
\(L=\lim_{n \to +\infty} (1+n+n^2)^{\frac{1}{n}} \)
\(\ln L=\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n} \ln(1+n+n^2) =0\)
dus L=1
Het vel van de beer kunnen verkopen vraagt moeite tenzij deze dood voor je neervalt. Die kans is echter klein dus moeten we zelf moeite doen.
- Berichten: 24.578
Re: Limiet
Standaardtrucje voor onbepaaldheden afkomstig van functies die je kan schrijven als f(x)^g(x).
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Berichten: 8.614
Re: Limiet
Bedankt, maar ik zie eigenlijk niet waarom eruit volgt dat de limiet 1 is. Ik ben namelijk niet zo vertrouwd met logaritmen.jhnbk schreef:dan even voor Klintersaas:
\(L=\lim_{n \to +\infty} (1+n+n^2)^{\frac{1}{n}} \)
\(\ln L=\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n} \ln(1+n+n^2) =0\)
dus L=1
Geloof niet alles wat je leest.
Heb jij verstand van PHP? Word Technicus en help mee om Wetenschapsforum nog beter te maken!
Heb jij verstand van PHP? Word Technicus en help mee om Wetenschapsforum nog beter te maken!
- Berichten: 24.578
Re: Limiet
Eventueel pas je nu nog de stelling van l'Hôpital toe om in te zien dat:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\ln \left( {1 + n + n^2 } \right)}}{n} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2n + 1}}{{1 + n + n^2 }} = 0\)
Maar dit is ln(L), zodat de limiet e^0 = 1 is."Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
- Berichten: 7.556
Re: Limiet
Intuïtief: een macht (n^-1) daalt sneller dan dat log (log(1+n+n^2)) stijgt, dus 1/n domineert en dat gaat naar nul. Formeel: zie TDBedankt, maar ik zie eigenlijk niet waarom eruit volgt dat de limiet 1 is. Ik ben namelijk niet zo vertrouwd met logaritmen.
Never express yourself more clearly than you think.
- Niels Bohr -
- Niels Bohr -
- Berichten: 24.578
Re: Limiet
Of iets ertussen: voor n naar oneindig kan je 1 en n verwaarlozen ten opzichte van n².
Dan volgt: ln(1+n+n²)/n ~ ln(n²)/n = 2.ln(n)/n ~ ln(n)/n -> 0 voor n naar oneindig.
Dan volgt: ln(1+n+n²)/n ~ ln(n²)/n = 2.ln(n)/n ~ ln(n)/n -> 0 voor n naar oneindig.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)