Springen naar inhoud

Impliciete functies (impliciet substitueren)


  • Log in om te kunnen reageren

#1

jebuske

    jebuske


  • 0 - 25 berichten
  • 19 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 18 augustus 2008 - 11:14

Ik zal hier eerst even de opgave zetten en dan wat ik al help, ik hoop dat jullie me verder kunnen helpen. Het gaat over optimalisatie met impliciet substitueren..

De opgave:

Zij f: R->R een overal gedefinieerde functie met continue partiŽle afgeleiden minstens tot de tweede orde. Veronderstel dat f'(0)>0.
Beschouw nu de functie h: R≥->R gegeven door h(x,y,z)=f(xy+z≤)

Toon aan dat h in (0,0,0) een lokaal gebonden minimum bereikt onder de randvoorwaarde dat xe^y - ycosx=0
Doe dit door de randvoorwaarde impliciet te substitueren in de doelfunctie.

Wat ik tot nu toe al heb:

We kunnen nagaan dat aan de impliciete functiestelling voldaan is doordat de randvoorwaarde (laten we die G noemen) continue partieel afgeleiden heeft en de partieel afgeleide naar y is verschillend van nul. Rond (0,0) bestaat er dus een unieke functie: g die voldoet aan
a) g(x*)=y*
b) voor alle x element van a geld: G(x, g(x))=c
en g heeft continue partieel afgeleiden;

we kunnen de randvoorwaarde dus schrijven als xe^g(x) - g(x)cosx
De doelfunctie kunnen we schrijven als h(x, t(x), z) = f(x.t(x)+z≤)
We kunnen aantonen dat h een kritiek punt heeft in (0,0,0) door partieel af te leiden naar x en naar z

En dan komt nu mijn vraag: hoe kan ik nu door impliciete substitutie aantonen dat h een lokaal gebonden minimum bereikt? Of mss concreter: wat zijn de volgende stappen die ik moet doen want het is mij nog altijd niet heel duidelijk hoe ik nu de randvoorwaarde impliciet moet substitueren in de doelfunctie..

Alvast bedankt

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Joren B

    Joren B


  • 0 - 25 berichten
  • 12 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 29 november 2008 - 12:21

Dit is een gebonden extrema vraagstuk. f(x,y,z) is een functie waarbij x en y gebonden zijn door de functie g(x,y)=0
dus g(x,y) is impliciet gedefineert. Nu zijn er 2 mogelijkheden om dit vraagstuk op te lossen: impliciete substitutie of de multiplicatoren methode van lagrange.

in jouw geval moest dus de substitutie toegepast worden. Zo ver ben je al geraakt want je heb h(x,y,z) herschreven tot
h(x, t(x), z). je hebt door partiŽle afgeleiden gevonden dat (0,0,0) een kritiek (aka stationair) punt is.

h(x,t(x),z) is dus een functie van 2 veranderlijken x en z. Nu kan je dus gewoon de extrema bepalen zoals je dat bij elke andere functie van 2 variabelen doet: determinant van Hess berekenen-->Deze zal positief moeten zijn in (0,0)
dan vul je (0,0) in in de tweede afgeleide naar x en als deze positief is kunnen we spreken van een relatief minimum.

mvg, Joren
mvg, Joren

#3

thermo1945

    thermo1945


  • >1k berichten
  • 3112 berichten
  • Verbannen

Geplaatst op 29 november 2008 - 20:26

Gaat dit nu over impliciete functies of over
functies met meerdere onafhankelijke variabelen
en functies van functies?

#4

Joren B

    Joren B


  • 0 - 25 berichten
  • 12 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 30 november 2008 - 15:25

Het gaat hier over een expliciete functie waarbij x en y gebonden zijn door een impliciete functie.

mvg Joren
mvg, Joren





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures