Recursieve formule

Moderators: dirkwb, Xilvo

Reageer

Bericht 19-08-'08, 10:21

Drieske

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Recursieve formule

Hey,

ik heb gister mijn examen Analyse gehad (studeer wel in Belgie, mar veel verschil zal er wel niet zijn tss de universiteiten) en ik had hier volgende vraag. Vond ze wel mooi, niet simpel, maar wel doenbaar, wou jullie er wel eens op loslaten :D

Je hebt een rij gedefinieerd op volgende manier:

a) kies x0 in R willekeurig

b) definieer een recursieve rij als volgt: xn+1=cos xn

Bespreek het asymptotisch gedrag van deze functie. Hangt het gedrag af van je x0? ARGUMENTEER!!!

Ik weet niet hoe jullie in Holland meestal werken, maar een vermoeden of een bewijs op een tekening (dus intuitie) stellen niks voor (krijg je met veel geluk 1/20 voor, je had het lef van op te dagen op uw examen).

Kun je het niet meteen bewijzen, schrijf dan toch mar intuitie, helpt soms feller dan je denkt :D

Veel succes met de vraag!!!

EDIT: je tekent best wel eens om te zien hoe de convergentie gebeurt; dan zou het zeker degenen die unief doen, moeten doen denken aan een vrij gekende stelling...
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
Omhoog

Bericht 19-08-'08, 10:39

TD

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Recursieve formule

Ik weet natuurlijk niet welke stellingen jij gezien hebt (dekpuntstelling misschien?) maar aangezien het hier (gelukkig) geen examen is, ga ik me ook niet bezighouden met veel details op te schrijven. Het zal convergeren naar het nulpunt van de vergelijking cos(x) = x.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Omhoog

Bericht 19-08-'08, 10:47

Drieske

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Recursieve formule

Ik weet natuurlijk niet welke stellingen jij gezien hebt (dekpuntstelling misschien?) maar aangezien het hier (gelukkig) geen examen is, ga ik me ook niet bezighouden met veel details op te schrijven. Het zal convergeren naar het nulpunt van de vergelijking cos(x) = x.
Nie verkeerd bedoeld TD, besef wel dat het geen examen is, maar dat het het punt x=cos was, denk ik dat iedereen wel kan inzien. Bekijk dan hoe de rij naar dit punt convergeert (ze draait er in een "spiraal" naar toe, afwisselend boven onder punt, steeds dichter). Ken je vaste-puntenstelling van Banach? Dan ook nog eens Lagrange gebruiken (die ken je sowieso)...
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
Omhoog

Bericht 19-08-'08, 10:54

TD

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Recursieve formule

Niet verkeerd bedoeld Drieske, maar er zijn hier zowel gebruikers die dit niet zullen weten als gebruikers die het allemaal wél weten, maar misschien geen zin hebben om het op te schrijven.
Ken je vaste-puntenstelling van Banach?
Als je de contractiestelling bedoelt, ja.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Omhoog

Bericht 19-08-'08, 11:02

Drieske

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Recursieve formule

Niet verkeerd bedoeld Drieske, maar er zijn hier zowel gebruikers die dit niet zullen weten als gebruikers die het allemaal wél weten, maar misschien geen zin hebben om het op te schrijven.
Ja, weet ik ook wel, ik wou gewoon eens zien of er reacties kwamen, en of iemand het ook ong kreeg bewezen. Vond het gewoon een toffe oef op het examen. Besef ook wel dat hier veel mensen veel dingen tgl bekijken. :D

En een t'tje weglaten lijkt me nu toch echt wel een detail, ik ben wiskundige, geen taalpurist (en ik weet nieT hoe daT komt, maar Hollanders zijn daar veel correcter in dan Vlamingen :D --weet natuurlijk niet of je nu Hollander dan wel Vlaming bent)
Als je de contractiestelling bedoelt, ja.
Idd, een ander woord is de contractiestellling, vermits je ze kent, zie je ook wel hoe je er met deze geraakt?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
Omhoog

Bericht 19-08-'08, 11:20

TD

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Recursieve formule

Ik krijg kriebels van "nie", meer moet je daar niet achter zoeken :D

Een aanzet voor wie verder wil: we willen d(f(x),f(y)) :D c.d(x,y) met 0 :P c < 1 (contractiestelling).

Neem d(x,y) = |y-x| en f(x) = cos(x), dan is |cos(y)-cos(x)| = |-sin(e)(y-x)| = |sin(e)|.|y-x| (Langrange).
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Omhoog

Bericht 19-08-'08, 11:44

Drieske

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Recursieve formule

Ik krijg kriebels van "nie", meer moet je daar niet achter zoeken :D
Ik zal er speciaal op dit forum op letten om niet juist te schrijven :D
TD schreef:Een aanzet voor wie verder wil: we willen d(f(x),f(y)) :D c.d(x,y) met 0 :P c < 1 (contractiestelling).

Neem d(x,y) = |y-x| en f(x) = cos(x), dan is |cos(y)-cos(x)| = |-sin(e)(y-x)| = |sin(e)|.|y-x| (Langrange).
En okee, ik zat beetje mis, mar je gebruikt contractie wel: Banach zegt het volgende:

Zij (X,d) een volledige metrische ruimte (klopt hier, want R met gewone metriek is volledig) en f:X-->Y een strikte contractie, dan heeft f een uniek vast punt, maw er bestaat juist één x* zodat x*=f(x*).

Als je nu kan aantonen dat f idd een strikte contractie is (dus gewoon doen wat td reeds gezegd heeft), dan heb je meteen aangetoond dat het idd convergeert naar x=cosx :P
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
Omhoog

Bericht 19-08-'08, 12:10

TD

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Recursieve formule

Ik bedoelde niet dat je mis zat hoor; als we dat eerste wat ik schreef hebben (contractie), dan geldt volgens die stelling inderdaad dat er een uniek dekpunt is - dus een waarde t waarvoor f(t) = t.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Omhoog

Bericht 19-08-'08, 12:35

Drieske

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Recursieve formule

TD, ik had nog één vraagje, in één van je eerdere posts zei je:
Neem d(x,y) = |y-x| en f(x) = cos(x), dan is |cos(y)-cos(x)| = |-sin(e)(y-x)| = |sin(e)|.|y-x| (Langrange).
Wat is die e in sin(e) en van waar "tover" je die ineens?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
Omhoog

Bericht 19-08-'08, 12:54

TD

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Recursieve formule

Stelling van Lagrange: er bestaat een e in (x,y) zodat f(y)-f(x) = f'(e)(y-x) als f continu op [x,y] en afleidbaar op (x,y).
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Omhoog

Bericht 19-08-'08, 13:05

Drieske

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Recursieve formule

Stelling van Lagrange: er bestaat een e in (x,y) zodat f(y)-f(x) = f'(e)(y-x) als f continu op [x,y] en afleidbaar op (x,y).
Ah okee, ik was in de war met die "e", ik dacht aan het natuurlijk getal e(=2.718...) :D

Okee, dan deden we wel hetz, ben terug mee :D
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
Omhoog

Bericht 19-08-'08, 13:14

TD

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Recursieve formule

Misschien wat ongelukkig gekozen, maar ik typ meestal 'e' als ik bijvoorbeeld epsilon of xi bedoel (in m'n hoofd heb...), dat is sneller/gemakkelijker :D
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Omhoog

Bericht 19-08-'08, 14:47

Drieske

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Recursieve formule

Misschien wat ongelukkig gekozen, maar ik typ meestal 'e' als ik bijvoorbeeld epsilon of xi bedoel (in m'n hoofd heb...), dat is sneller/gemakkelijker :D
Ja, als ik wat had nagedacht, had ik dat wsl zelf ook wel kunnen vinden, "e" waar ik aan dacht, zou ook wel echt onlogisch geweest zijn :D
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
Omhoog

Bericht 20-08-'08, 20:37

EvilBro

Berichten: 7.068

Re: Recursieve formule

Volgens mij is dit probleem een stuk toegankelijker dan hier mijn inziens gesuggereerd wordt. Zodra het inzicht is verworven dat je eens moet kijken of er geldt \(|\cos(x)| <= |x|\) op het domein \([0,1]\) (tekeningetje zou die hint toch wel moeten geven), is het voornamelijk een kwestie van differentieren.
Omhoog

Bericht 20-08-'08, 21:20

Drieske

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Recursieve formule

Volgens mij is dit probleem een stuk toegankelijker dan hier mijn inziens gesuggereerd wordt. Zodra het inzicht is verworven dat je eens moet kijken of er geldt \(|\cos(x)| <= |x|\) op het domein \([0,1]\) (tekeningetje zou die hint toch wel moeten geven), is het voornamelijk een kwestie van differentieren.
Ik ben eigenlijk wel benieuwd hoe je wilt aantonen dat uw convergentie idd naar daar gaat :D

En ik zie op een tekening tuurlijk in dat dit klopt (kijk al mar naar de reeksontwikkeling van uw cos-functie :P )
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
Omhoog
Reageer

Terug naar “Analyse en Calculus”