Springen naar inhoud

[wiskunde] Statistiek normale verdeling met steekproef


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Stef31

    Stef31


  • >250 berichten
  • 609 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 19 augustus 2008 - 11:53

Hallo iedereen

Ik kan van die oefening twee deeltjes niet oplossen want heb geen idee welke stappen ik moet doen om dit te kunnen oplossen.

Hier komt de opgave:
==============

Een bottelarij gebruikt een vulmachine om plastic flessen te vullen met cola. De flessen worden verondersteld 1500 ml te bevatten.
In feite varieert de inhoud volgens een normale verdeling met gemiddelde µ = 1505 ml en een standaardafwijking van σ = 4 ml

b.) Hoe groot is de kans dat de gemiddelde inhoud van een pakket van 4 flessen minder is dan 1500 ml?

d.) Een nieuwe vulmachine wordt aangeschaft, de inhoud van de flessen is normaal verdeeld met een gemiddelde van µ = 1503 ml en 98% van de flessen bevat meer dan 1500 ml.
Bepaal de standaardafwijking σ ?

De andere 10 vraagjes kon ik wel antwoorden maar die twee niet?

Kan iemand mij de stappen geven en de methode om dit op te lossen.
We mogen gebruikmaken van de TI84

Ik zou het erg accepteren dat iemand die twee vraagjes oplost voor mij of minstens de stappen geeft hoe je het moet doen

Met vriendelijke groetjes
Stefke

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

StrangeQuark

    StrangeQuark


  • >1k berichten
  • 4160 berichten
  • VIP

Geplaatst op 20 augustus 2008 - 12:50

In deze som heb je een normaal verdeelde vulmachine, waar dus de meeste flessen rond de bevatten met een standaarddeviatie van 4 mL.

In het onderstaande plaatje zie je een normale verdeling. Op de middelste lijn waar 0 onder staat (op de x-as) zie je de waarde van je Mu. Dit is dus de middenwaarde van de normaalverdeling waar alles omheen zit. Die +1 en die -1 op de x-as zijn het aantal keer de standaarddeviatie, in dit geval dus 4 mililiter. Je ziet dus ook dat in een perfecte normale verdeling 68% van alle flessen tussen de 1509 (mu+standaard deviatie) en de 1501mL (mu-standaard deviatie) gevuld zijn. Dus ruim de helft van de flessen weegt ergens tussen die waardes. Je ziet ook dat binnen twee keer de standaard deviatie er in totaal 95% van alle flessen zit. Oftewel 5% van alle flessen weegt meer dan 1513mL (mu+ 2x standaard deviatie) of minder dan 1497mL (mu - 2x standaard deviatie)

Het mooie van veel dingen binnen de statistiek is dat ze normaal verdeeld zijn. Een vul machine doet zijn uiterste best om elke keer precies 1505mL in de flessen te stoppen, maar soms gaat er een druppel naast, of blijft er een druppel hangen en zo kan het zijn dat er ook flessen zijn die meer of minder vloeistof bevatten. Omdat zoveel in de natuur op een normale verdeling lijkt, heeft jouw rekenmachine een speciale normaal verdelings optie. Het gaat hier om normalpdf en normalcdf. Het vershil tussen die twee is dat normalPdf naar een punt kijkt (volgens mij daarom die p, maar dat kan ik fout hebben). Dus bijvoorbeeld hoe groot de kans is dat je een fles vindt met precies 1500 mL. Degene die je verreweg het vaakst zal gebruiken is normalCdf (de c staat hier voor cumulatief, oftewel opgeteld). Het gaat er hier dan om om alle flessen die minder dan bijvoorbeeld 1500 mL te vinden, of alle flessen die meer dan 1510mL bevatten. Nog precieser gaat het om de kans dat als je willekeurig een fles pakt, dat die ene fles dan minder dan je waarde bevat.

marzano2001a_fig1_1.gif

Nu geloof ik (het is lang geleden) dat op je GR je in de optie normalcdf vier dingen moet invullen. normalcdf(linker waarde, rechter waarde,mu, sigma). In je eerste vraag wil je weten wat de kans is op het vinden van een fles met minder dan 1500mL. Je mu en sigma weet je, want die had je al gegeven. Je linker grens is zo klein mogelijk (je wilt zelfs uitgaan van flessen die 0 mL bevatten, want dat is ook minder dan 1500mL) dus vaak kan je in je GR daar -1e99 voor invullen, het kleinste getal dat de GR aankan. De rechter grens is de grens tot waaraan je het wilt meten. Dat is dus 1500 mL, hiermee heb je dus alle flessen meegenomen die minder dan 1500mL bevatten (vind je dat logisch?). Hier komt een kans uitrollen en ik zou zeggen dat als je 4 flessen op rij die kans moet laten hebben, dat je dan die kans tot de macht vier moet doen. (vind je dat logisch?)

De tweede vraag kan je op meerdere manieren oplossen volgens mij. Wat volgens mij de makkelijkste is, is om je grafiek optie erbij te pakken. Je vult dan in Y1=normalcdf(1500, 1e99, 1503, X). Je rekenmachine gaat dan alle waardes voor x invullen, en vult dus steeds andere waardes in voor je standaard deviatie. (vind je dat logisch?). Er staat ook gegeven dat de oppervlak, rechts van de 1500mL onder de normale verdelingsgrafiek (snap je waar oppervlak vandaan komt?) 0.98 moet zijn. Dus je kan in Y2=0.98 invullen. Vervolgens kijk je bij graph naar waar de intersection is van die twee grafieken. Je grafische rekenmachine vult dan waardes in voor je sigma, en uit de normalcdf komen dan oppervlaktes uit. Waar de Y1 intersect met de Y2, is de oppervlakte onder de grafiek dus 0.98. Bij deze waarde van X, oftwel deze waardes voor sigma, heb je een oppervlakte onder de grafiek van 0.98, en dus 98%.

Is dit lange verhaal een beetje logisch? Het hielp mij altijd heel erg om bij elke vraag een normale verdelingsgrafiekje te tekenen zoals onderstaand voorbeeld. Bij dit voorbeeld, wat ik op internet vond, ging het volgens mij om het aantal vrouwen dat langer dan 1.90 meter was. Je kan zien dat dat geld voor het gearceerde gedeelte. Als je dat in zou willen vullen krijg je iets als: normalcdf(1.90, 1e99, 1.81, 7.5). Uiteraard is 1e99 wat lang voor een vrouw, maar je weet maar nooit. :D

tip391.gif
De tekst in het hierboven geschreven stukje kan fouten bevatten in: argumentatie, grammatica, spelling, stijl, biologische of scheikundige of natuurkundige of wiskundige feiten kennis. Hiervoor bied StrangeQuark bij voorbaat zijn excuses aan.

#3

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 20 augustus 2008 - 14:04

Hier ook een manier om het zonder je GRM te doen (kan het niet helpen, heb iets tegen die dingen :P ).

b) Gevraagd is zoals reeds gezegd door SQ hierboven de kans dat je meer of minder als 1510 resp 1500 ml hebt.
Dus P(1500<X<1510) zoals je wel weet, maakt het bij normale verdeling niets uit of je strikt kleiner of gewoon kleiner schrijft (de integraal van een lijn is toch 0 :D ). Je weet nu ook dat X~N(1505, 4˛) en Z=(X-µ)/sigma~N(0, 1).
Dit geeft dus P((1500-1505)/4<(X-1505)/4<(1510-1505)/4)=P((1500-1505)/4<Z<(1510-1505)/4)=P(Z<5/4)-P(Z>(-5/4))=P(Z<5/4)-(1-P(Z<5/4))=-1+2*P(Z<5/4)=-1+2*[phi](5/4)= 2*0.894-1= 0.788 (dat laatste heb ik op het zicht uitgerekend, mss zit ik er dus beetje langs)

Hopelijk begrijp je wat ik hier doe, zoniet zeg je mar waar je vast loopt.

d) kan ik uitleggen als je eerst b begrijpt, anders heeft dat nog geen nut om het op mijn manier te proberen :P

Veranderd door Drieske, 20 augustus 2008 - 14:07

Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#4

StrangeQuark

    StrangeQuark


  • >1k berichten
  • 4160 berichten
  • VIP

Geplaatst op 20 augustus 2008 - 19:02

Ik snap je bezwaar tegen die dingen Drieske, maar de tentamens zijn inmiddels ook zo ingericht dat je het moet kunnen gebruiken. Het is een examen eis dat ze met die dingen om moeten kunnen gaan, en het is daardoor niet in het voordeel van de topic starter om het niet op een dergelijke wijze uit te leggen. Verder snap ik eerlijk gezegd ook niet wat je allemaal hebt opgeschreven. Ik heb geen idee wat je precies aan het doen bent, omdat ik die notatie niet snap.

Ik snap je bezwaar tegen die dingen Drieske, maar de tentamens zijn inmiddels ook zo ingericht dat je het moet kunnen gebruiken. Het is een examen eis dat ze met die dingen om moeten kunnen gaan, en het is daardoor niet in het voordeel van de topic starter om het niet op een dergelijke wijze uit te leggen. Verder snap ik eerlijk gezegd ook niet wat je allemaal hebt opgeschreven. Ik heb geen idee wat je precies aan het doen bent, omdat ik die notatie niet snap. Zou je het anders ook voor mij duidelijker willen opschrijven?
De tekst in het hierboven geschreven stukje kan fouten bevatten in: argumentatie, grammatica, spelling, stijl, biologische of scheikundige of natuurkundige of wiskundige feiten kennis. Hiervoor bied StrangeQuark bij voorbaat zijn excuses aan.

#5

ypsilon

    ypsilon


  • >5k berichten
  • 11085 berichten
  • VIP

Geplaatst op 20 augustus 2008 - 19:47

Ik snap je bezwaar tegen die dingen Drieske, maar de tentamens zijn inmiddels ook zo ingericht dat je het moet kunnen gebruiken. Het is een examen eis dat ze met die dingen om moeten kunnen gaan, en het is daardoor niet in het voordeel van de topic starter om het niet op een dergelijke wijze uit te leggen.

Valt te bezien :D Stef is immers Belg. Wij mochten i.i.g. geen GRM gebruiken op onze examens van statistiek.

#6

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 20 augustus 2008 - 19:51

Ik snap je bezwaar tegen die dingen Drieske, maar de tentamens zijn inmiddels ook zo ingericht dat je het moet kunnen gebruiken. Het is een examen eis dat ze met die dingen om moeten kunnen gaan, en het is daardoor niet in het voordeel van de topic starter om het niet op een dergelijke wijze uit te leggen. Verder snap ik eerlijk gezegd ook niet wat je allemaal hebt opgeschreven. Ik heb geen idee wat je precies aan het doen bent, omdat ik die notatie niet snap.

Ik snap je bezwaar tegen die dingen Drieske, maar de tentamens zijn inmiddels ook zo ingericht dat je het moet kunnen gebruiken. Het is een examen eis dat ze met die dingen om moeten kunnen gaan, en het is daardoor niet in het voordeel van de topic starter om het niet op een dergelijke wijze uit te leggen. Verder snap ik eerlijk gezegd ook niet wat je allemaal hebt opgeschreven. Ik heb geen idee wat je precies aan het doen bent, omdat ik die notatie niet snap. Zou je het anders ook voor mij duidelijker willen opschrijven?

Okee sorry, dat wist ik niet, ik kom uit Vlaanderen, duidelijk een heel ander systeem. Vergeet mn commentaar op GRM's maar.
Ik zal het dan wat beter uitleggen, en ook overzichtelijker met subscript en dergelijke :P

Okee, we zijn het er dus over eens dat er gevraagd is naar P(1500<X<1510) met X=aantal ml in een fles.

We weten ook uit opgave dat X~N(1505, 4˛) (=gemiddelde, sigma˛) (hier staat dus X is normaal verdeeld met gemiddelde 1505 en st.afw. 4).

Dit gaan we nu "standaardiseren" zodat we kunnen kijken in onze "Gauss-verdeling"; we weten nu dat er algemeen geldt (weet je dit niet, pak eender welk boek ivm stat en je weet het wel): als X~N(µ,s˛)==>LaTeX . Dit gebruik je in het berekenen van je kans.
P(1500<X<1510)=P(LaTeX <Z<LaTeX )=P(-1.25<Z<1.25)

Ik veronderstel dat jullie ook wel weten dat er geldt: P(a<Z<b)=P(Z<b)-P(Z<a) (in de normale verdeling)

Dus P(-1.25<Z<1.25)=P(Z<1.25)-P(Z<-1.25)

Nu weet je ook: P(Z<-a)=1-P(Z<a) (in de normale verdeling, geloof je dit niet, kijk op grafiekje :P )

P(Z<1.25)-P(Z<-1.25)=P(Z<1.25)-(1-P(Z<1.25)=2*P(Z<1.25)-1

Ik veronderstel dat je nu ook wel weet hoe je de P(Z<1.25) bepaald? (dus niet met grafiekje, wel met schitterende tabel, te bewonderen in bijlage :D )

En dan kom je uit:...idd; wat ik al had (klopt dit overigens, ik heb dus geen telmachien, studeer wisk aan unief, en een GRM of gewoon ZRM, beiden zijn uit den boze :P )

Volg je nu? Zoniet, waar verlies ik je?

Bijgevoegde Bestanden

Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#7

StrangeQuark

    StrangeQuark


  • >1k berichten
  • 4160 berichten
  • VIP

Geplaatst op 20 augustus 2008 - 21:28

Ik vind het nu een duidelijk en helder verhaal. Die normalisering van de normale kromme (onhandige woordkeuze wellicht), hebben wij ook wel gehad. Er is heel wat te zeggen voor het Belgische systeem wat dat betreft. Beide systemen hebben voordelen en nadelen, maar dat is een beerput die we beter niet in deze topic kunnen openen. :D

Volgens mij stond er alleen niet bij de eerste opgave dat ze het aantal flessen tussen 1500 en 1510 mL moesten berekenen toch? Alleen de kans dat 4 flessen minder dan 1500mL bevatten? Maakt opzich de vraag alleen maar eenvoudiger en jouw oplossing algemener. Ik zie trouwens nu ook staan dat 4 flessen gemiddeld minder dan 1500 mL, volgens mij heb ik antwoord gegeven op 4 keer minder dan 1500mL, dat is natuurlijk niet hetzelfde. Leg ik nu op een slak zout of heb ik foutief gelezen.
De tekst in het hierboven geschreven stukje kan fouten bevatten in: argumentatie, grammatica, spelling, stijl, biologische of scheikundige of natuurkundige of wiskundige feiten kennis. Hiervoor bied StrangeQuark bij voorbaat zijn excuses aan.

#8

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 21 augustus 2008 - 08:17

Ik vind het nu een duidelijk en helder verhaal. Die normalisering van de normale kromme (onhandige woordkeuze wellicht), hebben wij ook wel gehad. Er is heel wat te zeggen voor het Belgische systeem wat dat betreft. Beide systemen hebben voordelen en nadelen, maar dat is een beerput die we beter niet in deze topic kunnen openen. :P

Volgens mij stond er alleen niet bij de eerste opgave dat ze het aantal flessen tussen 1500 en 1510 mL moesten berekenen toch? Alleen de kans dat 4 flessen minder dan 1500mL bevatten? Maakt opzich de vraag alleen maar eenvoudiger en jouw oplossing algemener. Ik zie trouwens nu ook staan dat 4 flessen gemiddeld minder dan 1500 mL, volgens mij heb ik antwoord gegeven op 4 keer minder dan 1500mL, dat is natuurlijk niet hetzelfde. Leg ik nu op een slak zout of heb ik foutief gelezen.

Nee, je hebt helemaal gelijk, IK had daar over gelezen.
Eigenlijk, als nu de opgave opnieuw lees, heb ik geen idee waar ik P(1500<X<1510) vandaan heb gehaald :s
Nuja, je begrijpt hoe het werkt, daar ging het over (en ik geef toe, mijn posts tot nu toe waren beetje verwarrend-->daar is mij dan ook terecht op gewezen geweest :P )

PS mss start ik wel eens een topic over wat dan de voor -en nadelen zijn tss beide systemen :D

Veranderd door Drieske, 21 augustus 2008 - 08:18

Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#9

StrangeQuark

    StrangeQuark


  • >1k berichten
  • 4160 berichten
  • VIP

Geplaatst op 21 augustus 2008 - 08:21

prima idee. :D En ik snap wel nu beter hoe je het ook zonder GRM kan doen, dus mij heb je in ieder geval geholpenl. Nu nog hopen dat de topic stater er iets mee kan.
De tekst in het hierboven geschreven stukje kan fouten bevatten in: argumentatie, grammatica, spelling, stijl, biologische of scheikundige of natuurkundige of wiskundige feiten kennis. Hiervoor bied StrangeQuark bij voorbaat zijn excuses aan.

#10

Stef31

    Stef31


  • >250 berichten
  • 609 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 21 augustus 2008 - 10:39

Hallo

Zijn er nog andere manieren om met de functies te werken voor vraag b op te lossen

#11

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 21 augustus 2008 - 10:40

Wat me opvalt is dat Stef31 geen enkele reactie geeft.

b) Eerst de kans bepalen dat een fles minder dan 1500 ml bevat. Normale verdeling (GR).
Dan de kans dat de serie van 4 flessen gemiddeld minder dan 1500 ml bevat. Dat is een binomiale verdeling.

d) Eerst standaardiseren, dan de inverse bepalen (GR) en tenslotte 'terugrekenen'.

#12

Stef31

    Stef31


  • >250 berichten
  • 609 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 21 augustus 2008 - 10:47

StrangeQuark,

Voor vraag a is het erg duidelijk wat je mij hebt uitgelegd.
Bedankt daarvoor

Voor vraag b probeer ik jou methode maar mijn TI 84 heeft grafisch 2 horizontale strepen en ben daar niet veel mee denk ik. Ik heb jou methode gedaan maar lukt niet

Y1 = normalcdf(1500,10^99, 1503, X)
Y2 = 0.98

Wel dat werkt niet !

Is er een andere manier maar wel met de GR rekenmachine mijn TI84

Groetjes Stefke

#13

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 21 augustus 2008 - 11:03

Standaardiseren van een normale verdeling betekent N(m,s) omzetten naar N(0,1).

#14

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 21 augustus 2008 - 11:19

Wat me opvalt is dat Stef31 geen enkele reactie geeft.

b) Eerst de kans bepalen dat een fles minder dan 1500 ml bevat. Normale verdeling (GR).
Dan de kans dat de serie van 4 flessen gemiddeld minder dan 1500 ml bevat. Dat is een binomiale verdeling.

d) Eerst standaardiseren, dan de inverse bepalen (GR) en tenslotte 'terugrekenen'.

Yihaaa, ook dees kan ik oplossen zonder mijn rekenmachientje tevoorschijn te toveren :P
Maar daar heeft Stef niet veel aan heb ik mij laten zeggen, dus is voor andere keer :D

PS dees = oef d

Veranderd door Drieske, 21 augustus 2008 - 11:23

Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#15

Stef31

    Stef31


  • >250 berichten
  • 609 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 21 augustus 2008 - 11:43

Hallo

Een tussenvraagje: het lukt mij steeds niet vanuit een functie die X hier te berekenen?
Ik heb dus een TI84

Y1 = normalcdf(1500,10^99,1503,X)

Hoe doe je dat krijg die er niet uit


Heeft iemand een andere manier maar met de grafische rekenmachine TI84

Met vriendelijke groetjes
Stefke





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures