Springen naar inhoud

Moleculaire architectuur


  • Log in om te kunnen reageren

#1

lothrie

    lothrie


  • >25 berichten
  • 36 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 26 augustus 2008 - 12:43

Hoi

Een vraagje ivm Archimedes en de polyederstelling van Euler.

we hebben in de les gezien, dat je met veelvlakken een bolvormig oppervlak kunt vullen als ze voldoen aan de polyederstelling: v+f=e+2
v=aantal hoekpunten
f = aantal vlakken
e = aantal ribben

en als je dit zou willen doen met enkel vijfhoekjes en zeshoekjes dan krijg je als bijkomende randvoorwaarden:
f = f5+f6
3v=2e
3v=5f5+6f6

Nu is de vraag.. hoe doe je dat met enkel DRIEhoekjes en zeshoekjes?
Want, is het dan niet zo dat er in ťťn hoekpunt net 4 ribben zijn, en niet 3? -->4v = 2e ??
en wordt dan ook 4v=3f3+6f6

Of is dat niet de logica die je erin moet zetten?

En is zo'n lichaam enkel te realiseren met C-atomen indien 1 hoekpunt 3 ribben verbind, vermits C drie buuratomen heeft? en dit met driehoekjes en zeshoekjes dus niet te realiseren valt met C-atomen?

Hartelijk dank

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Marko

    Marko


  • >5k berichten
  • 8936 berichten
  • VIP

Geplaatst op 27 augustus 2008 - 10:47

Een polyeder bestaande uit driehoeken en zeshoeken maak je uitgaande van een tetraŽder. Vervolgens snij je van iedere ribbe aan elk uiteinde een stuk af van 1/3e lengte. In de polyeder die je dan krijgt vertrekken vanuit elk hoekpunt 3 ribben, dus 3v=2e, en 3v=3f3+6f6

Met enkel C-atomen kan dit niet bereikt worden. Een C-atoom heeft 4 bindingselectronen, in een polyeder waarin ieder C-atoom 3 buren heeft moeten dus dubbele bindingen zitten (ieder C-atoom is sp2-gehybridiseerd), en die maken de structuur in principe vlak. Om uit de vlakke structuur een ruimtelijke vorm te krijgen, moet er dus wat gebogen worden, hetgeen energie kost. Dat is alleen gunstig als de ruimtelijke structuur redelijk groot is, waardoor het bij C60 net wťl gaat.

In deze structuur, moeten de hoeken veel te ver uit het vlak gebogen worden, waardoor het niet zal kunnen bestaan. Wellicht loont het zich wel voor C12H12 vanwege de sp3-hybridisatie die je dan hebt, maar ook daar zal de ringspanning behoorlijk zijn.

Cetero censeo Senseo non esse bibendum


#3

lothrie

    lothrie


  • >25 berichten
  • 36 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 27 augustus 2008 - 15:36

Een polyeder bestaande uit driehoeken en zeshoeken maak je uitgaande van een tetraŽder. Vervolgens snij je van iedere ribbe aan elk uiteinde een stuk af van 1/3e lengte. In de polyeder die je dan krijgt vertrekken vanuit elk hoekpunt 3 ribben, dus 3v=2e, en 3v=3f3+6f6

Met enkel C-atomen kan dit niet bereikt worden. Een C-atoom heeft 4 bindingselectronen, in een polyeder waarin ieder C-atoom 3 buren heeft moeten dus dubbele bindingen zitten (ieder C-atoom is sp2-gehybridiseerd), en die maken de structuur in principe vlak. Om uit de vlakke structuur een ruimtelijke vorm te krijgen, moet er dus wat gebogen worden, hetgeen energie kost. Dat is alleen gunstig als de ruimtelijke structuur redelijk groot is, waardoor het bij C60 net wťl gaat.

In deze structuur, moeten de hoeken veel te ver uit het vlak gebogen worden, waardoor het niet zal kunnen bestaan. Wellicht loont het zich wel voor C12H12 vanwege de sp3-hybridisatie die je dan hebt, maar ook daar zal de ringspanning behoorlijk zijn.


En hoe weet je dat dat je een polyeder bestaande uit driehoeken en zeshoeken maakt uitgaande van een tetraŽder?
Of is dit net altijd zo?

#4

Marko

    Marko


  • >5k berichten
  • 8936 berichten
  • VIP

Geplaatst op 27 augustus 2008 - 17:24

Dat valt wellicht wiskundig af te leiden, maar voor mij was het een kwestie van ooit gezien hebben. Overigens is dit wel de manier om (alle?) semi-regelmatige veelvlakken te construeren. Zo maakt men een veelvlak bestaande uit achthoeken en driehoeken, door van een kubus te vertrekken en van alle ribben het eerste en laatste derde deel af te snijden. Uitgaande van een octaeder maakt men zo een veelvlak bestaande uit zeshoeken en vierkanten, en uitgaande van een icosaeder (twintigvlak) bekomt men zo een buckybal (C60)!

Cetero censeo Senseo non esse bibendum


#5

lothrie

    lothrie


  • >25 berichten
  • 36 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 28 augustus 2008 - 07:54

Dat valt wellicht wiskundig af te leiden, maar voor mij was het een kwestie van ooit gezien hebben. Overigens is dit wel de manier om (alle?) semi-regelmatige veelvlakken te construeren. Zo maakt men een veelvlak bestaande uit achthoeken en driehoeken, door van een kubus te vertrekken en van alle ribben het eerste en laatste derde deel af te snijden. Uitgaande van een octaeder maakt men zo een veelvlak bestaande uit zeshoeken en vierkanten, en uitgaande van een icosaeder (twintigvlak) bekomt men zo een buckybal (C60)!


als ik dat uitwerk:
f=e+2-v
--> f3+f6=e+2-v (f = f3+f6)
*3
3f3+3f6 = 3e + 6 - 3v (1)

en ook gebruik makende van de vgl 3v = 3f3 + 6f6 (2)

(2) - (1) = f6 = -e - 2 + 2v

voor zeshoekjes:
f = 1
v = 6*(1/3) = 2
e = 6*(1/2) = 3

dus verkrijg je dat aantal zeshoekjes = -3 -2 + 2*2 = -1
Wat dus helemaal niet kan..

Waar zit ik dan nu fout?

#6

Marko

    Marko


  • >5k berichten
  • 8936 berichten
  • VIP

Geplaatst op 28 augustus 2008 - 12:14

Waarom is f=1?

Cetero censeo Senseo non esse bibendum


#7

lothrie

    lothrie


  • >25 berichten
  • 36 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 28 augustus 2008 - 14:33

Waarom is f=1?


Je doet dat tog op 1 zeshoekje (je v en je e bepalen..) dus heb je 1 vlak (f = 1)
en dan de rest.. dus zes ribben, die voor de helft meetellen, en zes hoekjes die voor 1/3 meetellen

Je doet dat tog op 1 zeshoekje (je v en je e bepalen..) dus heb je 1 vlak (f = 1)
en dan de rest.. dus zes ribben, die voor de helft meetellen, en zes hoekjes die voor 1/3 meetellen


of mezelf mss iets verduidelijken:
op 1 vlak (zeshoekje)
Zitten er 6 ribben die maar voor de helft in dat vlak zitten (want ze delen die ook met de vlakken erlangs)
en zes hoekpunten die voor 1/3 in het vlak zitten

#8

Marko

    Marko


  • >5k berichten
  • 8936 berichten
  • VIP

Geplaatst op 28 augustus 2008 - 15:29

Om

(2) - (1) = f6 = -e - 2 + 2v

af te leiden, heb je gebruik gemaakt van

f + v = e + 2

Dat geldt alleen voor een polyeder, niet voor een klein stukje daaruit.

Je kunt, door e en v te elimeren, een uitdrukking vinden waarin alleen nog f3 voorkomt. (Deze herleidt tot f3=4). De consequentie is dus dat een veelvlak bestaande uit driehoeken en zeshoeken, en waarin vanuit ieder hoekpunt 3 ribben vertrekken, altijd 4 driehoeken bevat, onafhankelijk van de waarde van f6. De uitdaging is dan dus om f6 zo te kiezen, dat aan de stelling van Euler wordt voldaan. Je zult dan zien dat deze opgaat voor f6=0 (dan heb je een tetraeder), f6=2, f6=4 etc. (De bijbehorende waardes voor e en v zijn dan ook te berekenen). Dat wil overigens nog steeds niet zeggen dat ze bestaan, maar als ze bestaan, zijn ze zo opgebouwd.

Wanneer je voor f6=2 gaat proberen zo een figuur te construeren kom je al snel in moeilijkheden. Echter, voor f6=4 krijg je de figuur die ik eerder beschreef.

Cetero censeo Senseo non esse bibendum


#9

lothrie

    lothrie


  • >25 berichten
  • 36 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 28 augustus 2008 - 16:31

Om

(2) - (1) = f6 = -e - 2 + 2v

af te leiden, heb je gebruik gemaakt van

f + v = e + 2

Dat geldt alleen voor een polyeder, niet voor een klein stukje daaruit.

Je kunt, door e en v te elimeren, een uitdrukking vinden waarin alleen nog f3 voorkomt. (Deze herleidt tot f3=4). De consequentie is dus dat een veelvlak bestaande uit driehoeken en zeshoeken, en waarin vanuit ieder hoekpunt 3 ribben vertrekken, altijd 4 driehoeken bevat, onafhankelijk van de waarde van f6. De uitdaging is dan dus om f6 zo te kiezen, dat aan de stelling van Euler wordt voldaan. Je zult dan zien dat deze opgaat voor f6=0 (dan heb je een tetraeder), f6=2, f6=4 etc. (De bijbehorende waardes voor e en v zijn dan ook te berekenen). Dat wil overigens nog steeds niet zeggen dat ze bestaan, maar als ze bestaan, zijn ze zo opgebouwd.

Wanneer je voor f6=2 gaat proberen zo een figuur te construeren kom je al snel in moeilijkheden. Echter, voor f6=4 krijg je de figuur die ik eerder beschreef.


Tgoh,
Nu ben ik het helemaal kwijt.

dus je hebt je vergelijkingen:
(1) f = f3 + f6
(2) 3v = 2e
(3) 3v = 3 f3 + 6 f6
(4) v + f = e +2

dus (1) en (2) in (4) --> v + f3 + f6 = (3/2)v+2

of omgezet:
(1/2)v + 2 = f3 + f6 (5)
(3) - 6*(5)
0+2=-3 f3 +0

of f3 = -2/3

Dus klopt er nog steeds iets niet met mijn vier 'begin' vergelijkingen??

#10

Marko

    Marko


  • >5k berichten
  • 8936 berichten
  • VIP

Geplaatst op 28 augustus 2008 - 16:55

Ik kom op

(1) f = f3 + f6
(2) 3v = 2e
(3) 3v = 3 f3 + 6 f6

(4) v + f = e +2 (x6)

6v+ 6f= 6e +12


6 f3 + 12 f6 + 6 f3 + 6 f6 = 9 f3 + 18 f6 + 12
12 f3 = 9 f3 + 12
3 f3 = 12
f3 = 4

f=f6 + 4

vanwege 3v=2e: (vgl. (4) maal 2, etc, ff geen tijd om alles uit te schrijven)

-v + 2f = 4
-v + 2(4+f6) = 4
-v + 8+ 2f6 = 4
-v =-4 - 2f6
v = 2f6 + 4

voor f6=0 geldt dus v=4, hetgeen klopt voor een tetraeder. Voor jouw figuur geldt f6=4.

Cetero censeo Senseo non esse bibendum


#11

lothrie

    lothrie


  • >25 berichten
  • 36 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 28 augustus 2008 - 18:01

Ik kom op

(1) f = f3 + f6
(2) 3v = 2e
(3) 3v = 3 f3 + 6 f6

(4) v + f = e +2 (x6)

6v+ 6f= 6e +12


6 f3 + 12 f6 + 6 f3 + 6 f6 = 9 f3 + 18 f6 + 12
12 f3 = 9 f3 + 12
3 f3 = 12
f3 = 4

f=f6 + 4

vanwege 3v=2e: (vgl. (4) maal 2, etc, ff geen tijd om alles uit te schrijven)

-v + 2f = 4
-v + 2(4+f6) = 4
-v + 8+ 2f6 = 4
-v =-4 - 2f6
v = 2f6 + 4

voor f6=0 geldt dus v=4, hetgeen klopt voor een tetraeder. Voor jouw figuur geldt f6=4.


Ok dank je wel,
ik heb hem eindelijk door :-)





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures