Machtreeksen en voortbrengende functies

Moderators: dirkwb, Xilvo

Reageer

Bericht 27-08-'08, 00:11

Westy

Gebruikersavatar
Berichten: 581

Machtreeksen en voortbrengende functies

dag,

ik zit wat te knoeien met het volgende:

stel
\(f=\sum_{n}a_{n}x^n\)
volgende recurrentievgl:
\( a_{n+1}=\frac{3a_{n}+1}{n+1}\)
zou volgende diff.vgl geven:
\(f'=3f+\frac{1}{1-x}\)
Ik begrijp niet hoe men hieraan komt?

Kan iemand me hierbij helpen?

PS: ik weet hoe
\( \sum_{n}a_{n+1}x^n\)


en
\( n\cdot\sum_{n}a_{n}x^n\)


te berekenen in functie van f en f', dat begrijp ik.
---WAF!---
Omhoog

Bericht 28-08-'08, 15:25

phoenixofflames

Berichten: 503

Re: Machtreeksen en voortbrengende functies

is 1/(1-x) niet =
\( \sum_{n}x^n\)
Omhoog

Bericht 28-08-'08, 17:35

Phys

Gebruikersavatar
Berichten: 7.556

Re: Machtreeksen en voortbrengende functies

Inderdaad (voor |x|<1). Dus:

Je kunt schrijven
\(f'=\sum_{n=0}^\infty (n+1)a_{n+1}x^n\)
, dus
\(f'=3f+\frac{1}{1-x}\)
geeft
\(\sum (n+1)a_{n+1}x^n=\sum 3a_nx^n+\sum x^n\)
oftewel
\((n+1)a_{n+1}=3a_n+1\)
zoals aan te tonen.
Never express yourself more clearly than you think.

- Niels Bohr -
Omhoog

Bericht 02-09-'08, 23:11

Westy

Gebruikersavatar
Berichten: 581

Re: Machtreeksen en voortbrengende functies

Sorry voor het lange wachten, maar ik had pas vanavond tijd om naar jullie antwoorden te kijken.

Het heeft even geduurd, maar nu zie ik het. Ik zag maar niet waarom
\(f'=\sum_{n=0}^\infty (n+1)a_{n+1}x^n\)
want ik dacht dat
\(f'=\sum_{n=0}^\infty (n)a_{n}x^{(n-1)}\)
maar dat is natuurlijk hetzelfde

8-)

De rest was duidelijk.

Bedankt
---WAF!---
Omhoog

Bericht 02-09-'08, 23:36

Phys

Gebruikersavatar
Berichten: 7.556

Re: Machtreeksen en voortbrengende functies

Inderdaad. Voor mensen die het niet direct zien:
\(\sum_{n=0}^\infty na_nx^{n-1}=\sum_{n=1}^\infty na_nx^{n-1}\)
(want voor n=0 wordt er vermenigvuldigd met nul, dus de eerste term levert nul op).

Nu de index verlagen (substitutie):
\(\sum_{n=1}^\infty na_nx^{n-1}=\sum_{n=0}^\infty (n+1)a_{n+1}x^{n}\)
Never express yourself more clearly than you think.

- Niels Bohr -
Omhoog

Bericht 12-08-'10, 21:30

Fermat

Berichten: 4

Re: Machtreeksen en voortbrengende functies

Dag iedereen,

ik zit met een dergelijk probleem...

De rij (bn) voldoet aan volgende recursie-regel:
\(b_{n+1} = 9 b_n + 2^n\)
Nu wil ik ook mijn voortbrengende functie
\( \sum_{n}b_{n}x^n\)
berekenen, maar ik zit vast, zelfs bij het begin al.

Kan iemand me opweg helpen.

Alvast bedankt!
Omhoog

Bericht 12-08-'10, 22:13

bessie

Re: Machtreeksen en voortbrengende functies

Je hebt dus eigenlijk de Bn'ers nodig. Ik ben geen reeks deskundige maar ik vermoed dat je de recurrente verg. kan splitsen in twee delen, waarvan de ene een rekenkundige en de andere een meetkundige reeks vormt. De totale reeks vind je dan door de som van beide onderdelen.

Ik weet alleen niet of dat in dit geval mag.
Omhoog

Bericht 12-08-'10, 23:23

Fermat

Berichten: 4

Re: Machtreeksen en voortbrengende functies

Moet ik dan de recursie-vgl. verdraaien op deze manier: (?)
\(b_n=\frac{b_{n+1} -2^n}{9} \)
Want op deze manier kan ik niet verder werken (ofwel doe ik iets fout of is het een andere manier)...

Ik zou de twee termen apart bekijken. De tweede is simpel, maar bij de eerste, nl.
\(\sum_{n=0}^\infty\frac{b_{n+1}}{9}x^n\)
, krijg ik geen deftige uitdrukking in functie van f(x), de voortbrengende functie.

Hoe zit dit...
Omhoog

Bericht 13-08-'10, 08:28

bessie

Re: Machtreeksen en voortbrengende functies

Nee ik zat te denken aan een rij b(n+1)=2^n en een rij c(n+1)=9c(n). De eerste een meetkundige met extra beginterm 0 (immers b(n)=2^(n-1)) en de tweede een meetkundige met beginterm c(1)<>0. Vervolgens a(n)=b(n)+c(n) maar ik vrees dat dat niet mag. Kan je verder denk ik niet helpen, sorry
Omhoog

Bericht 13-08-'10, 23:31

Westy

Gebruikersavatar
Berichten: 581

Re: Machtreeksen en voortbrengende functies

Fermat schreef:De rij (bn) voldoet aan volgende recursie-regel:
\(b_{n+1} = 9 b_n + 2^n\)


Hallo,

moet je geen beginvoorwaarde hebben, een eersteterm bvb
\( b_1=0 \)
?
---WAF!---
Omhoog

Bericht 13-08-'10, 23:48

Westy

Gebruikersavatar
Berichten: 581

Re: Machtreeksen en voortbrengende functies

Met beginvoorwaarde
\( b_0=0 \)
is:
\( b_n=\frac{9^n-2^n}{7}\)
Maar ik weet niet of je dat veel vooruit helpt...?
---WAF!---
Omhoog

Bericht 14-08-'10, 00:23

Westy

Gebruikersavatar
Berichten: 581

Re: Machtreeksen en voortbrengende functies

Fermat schreef:maar bij de eerste, nl.
\(\sum_{n=0}^\infty\frac{b_{n+1}}{9}x^n\)
, krijg ik geen deftige uitdrukking in functie van f(x), de voortbrengende functie.

Hoe zit dit...
\

is
\( \sum_{n=0}^\infty\frac{b_{n+1}}{9}x^n\)
niet hetzelfde als
\( \frac{1}{9x} \sum_{n=1}^\infty{b_{n}x^n=\frac{f(x)-f(0)}{9x}\)
maar hoe je
\(\sum_{n=0}^\infty\frac{2^n}{9}x^n\)
omzet in f(x) zie ik niet direct...

Als jij het wel ziet, help mij dan even?

sorry voor de meerdere posts, het zit allemaal nogal diep, en het komt maar langzaam naar boven...
---WAF!---
Omhoog

Bericht 14-08-'10, 00:58

Westy

Gebruikersavatar
Berichten: 581

Re: Machtreeksen en voortbrengende functies

Beste Fermat,

laat je even weten of het je nu verder lukt?

Als alles goed gaat zou je uiteindelijk het volgende moeten krijgen:

Verborgen inhoud
\( f(x)= \frac{x}{(2x-1)(18x-1)}\)
---WAF!---
Omhoog

Bericht 18-08-'10, 19:50

Fermat

Berichten: 4

Re: Machtreeksen en voortbrengende functies

Hey,

sorry dat het zo lang duurde. Bedankt voor jullie hulp.

Ik kom echt i.p.v. '18' een 9'' uit in je noemer. De rest heb ik exact hetzelfde...
Omhoog

Bericht 19-08-'10, 00:21

Westy

Gebruikersavatar
Berichten: 581

Re: Machtreeksen en voortbrengende functies

;) Dom! Moest idd 9 zijn...

even kort voor wie interesse heeft:
\(b_{n+1}=9b_n+2^n\)
\( b_n=\frac{1}{9}b_{n+1}-\frac{1}{9}2^n \)
\( \sum_{n} b_n . x^n = \frac{1}{9}\sum_{n}b_{n+1}.x^n-\frac{1}{9}\sum_{n}2^n.x^n\)
en dus -volgens post ergens hierboven-
\( f(x)= \frac{1}{9x}\sum_{n=1}^{\infty}b_n.x^n -\frac{1}{9}\left(\frac{1}{1-2x}\right)\)
en aangezien
\(b_0=0\)

\( f(x)= \frac{1}{9x} f(x)- \frac{1}{9(1-2x)}\)
hieruit f(x) halen geeft
\( f(x)=\frac{x}{(9x-1)(2x-1)} \)
---WAF!---
Omhoog
Reageer

Terug naar “Analyse en Calculus”