Springen naar inhoud

sinus en zo


  • Log in om te kunnen reageren

#1


  • Gast

Geplaatst op 25 april 2005 - 23:33

hoi
er geldt dat
sin˛x+cos˛=1 voor x als reele getal
geldt dat ook als x complex is? is er een bewijs voor zoiets?
bedank!

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Rogier

    Rogier


  • >5k berichten
  • 5679 berichten
  • VIP

Geplaatst op 26 april 2005 - 00:32

Ja, en ja :shock:

Voor het bewijs moet je behalve sin en cos ook sinh en cosh (sinus hyperbolicus en cosinus hyperbolicus) kennen.
Die zijn als volgt gedefinieerd:

sinh(x) = x/1! + x3/3! + x5/5! + x7/7! + ....
en
cosh(x) = 1 + x2/2! + x4/4! + x6/6! + ....

Ze lijken qua formule dus erg op sin en cos (daar wisselen de + en - elkaar af, bij de hyperbolicus functies zijn het allemaal +jes).
Merk op dat sinh(x) = (ex-e-x)/2 en cosh(x) = (ex+e-x)/2.

De definities van sin en cos kun je ook loslaten op complexe getallen (a+bi). Om te weten wat daaruit komt kun je voor het gemak beter even alleen het imaginaire component (bi) nemen, met formules voor sin(p+q) en cos(p+q) kun je dan ook algemene imaginaire getallen aan. Als je sin(bi) uitschrijft en iedere factor i2 vervangt door -1 krijg je precies sinh(b)[.]i. Net zo cos(bi) = cosh(b)[.]i (en omgekeerd geldt trouwens ook sinh(bi) = sin(b)[.]i en cosh(bi) = cos(b)[.]i)

Als je nu gebruikt dat sin(a+bi) = sin(a)cos(bi)+cos(a)sin(bi), en cos(a+bi) = cos(a)cos(bi)-sin(a)sin(bi) krijg je:

sin2(a+bi) + cos2(a+bi) = ( sin2(a)+cos2(a) ) ;) ( cosh2(b)-sinh2(b) )

In die laatste uitdrukking is de linker factor 1 (a[element]:?:). En de rechter factor ook, dat is makkelijk in te zien als je de (ex[plusmin]e-x)/2 definities gebruikt.
Dus het totaal ook!
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures