Springen naar inhoud

[Wiskunde]Diophantische vergelijking


  • Log in om te kunnen reageren

#1

ntstudent

    ntstudent


  • >250 berichten
  • 577 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 11 september 2008 - 22:32

Hallo,

ik heb een vraagje, dat gaat als volgt:

Diophantus van AlexandriŽ leefde in de 3e eeuw n.C. en schreef onder andere een lijvig boekwerk, de Arithmetica. Als Lemma bij Vraagstuk V1.12 staat een bewering die in moderne taal equivalent is met:

Stelling: Als A en C rationale breuken zijn zodat A+C een kwadraat is (van een rationale breuk), dan heeft (*) LaTeX oneindig veel oplossingen in (x,y) in (zo'n E teken, alleen dan boller) irrationele getallen^2.

Opgave 1. Stel dat K de grafiek is van (*) in het (x,y)-vlak, en dat LaTeX een rechte lijn is met richtingscoŽfficiŽnt t die door P=(1,LaTeX ) gaat, met LaTeX . Vindt de snijpunten van K en LaTeX expliciet.

Mijn vraag is in wat, of hoe moet ik de snijpunten uitdrukken?

Bedankt, ntstudent
To invent something you need to see what everyone sees, do what everybody does and think that nobody has though of.

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Phys

    Phys


  • >5k berichten
  • 7556 berichten
  • VIP

Geplaatst op 12 september 2008 - 00:45

In gegeven symbolen. Ik zou zeggen, bereken de snijpunten en dan zie je wel waarin je ze uit hebt gedrukt. Welke aanpak had je in gedachten (het is heel makkelijk)?
Never express yourself more clearly than you think.
- Niels Bohr -

#3

foodanity

    foodanity


  • >100 berichten
  • 177 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 12 september 2008 - 13:15

Diophantus van AlexandriŽ leefde in de 3e eeuw n.C. en schreef onder andere een lijvig boekwerk, de Arithmetica. Als Lemma bij Vraagstuk V1.12 staat een bewering die in moderne taal equivalent is met:

Stelling: Als A en C rationale breuken zijn zodat A+C een kwadraat is (van een rationale breuk), dan heeft (*) LaTeX

oneindig veel oplossingen in (x,y) LaTeX (aangepast epsilon teken, spreek uit als exist in, of bestaat uit) irrationele getallen^2 rationale getallen (LaTeX ).

Opgave 1. Stel dat K de grafiek is van (*) in het (x,y)-vlak, en dat LaTeX een rechte lijn is met richtingscoŽfficiŽnt t die door P=(1,LaTeX ) gaat, met LaTeX . Vindt de snijpunten van K en LaTeX expliciet.


Een snijpunt heb je al, namelijk P(1, LaTeX ), dan stel je nu dat de lijn met een juiste richtingscoefficient (t) nog een snijpunt heeft met de grafiek K, dan kun je de vergelijking van de lijn in de vergelijking van K invullen en zo het tweede snijpunt berekenen, probeer die aanpak eerst eens en post je bevindingen dan.

Trouwens doe je de bachelor wiskunde (en toepassingen?) of een twin in utrecht? Want ik kreeg vorige week dezelfde opdracht en de docent ging inderdaad heel snel en was vrij lastig te volgen :D

#4

ntstudent

    ntstudent


  • >250 berichten
  • 577 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 12 september 2008 - 14:56

Ik doe TWINFO (informatica en wiskunde) =), maar de docent ging inderdaad erg snel en ik ik snapte het niet helemaal :D. In Utrecht :P. Jij zit zeker ook in Utrecht?

PS: ik post vanavond even mijn uitwerkingen als ik klaar ben =).

Veranderd door ntstudent, 12 september 2008 - 15:06

To invent something you need to see what everyone sees, do what everybody does and think that nobody has though of.

#5

ntstudent

    ntstudent


  • >250 berichten
  • 577 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 12 september 2008 - 16:44

Een paar vraagjes over deze opgave.

De snijpunt die u zei, was toch geen snijpunt? (LaTeX ) Want bedoelen ze dan niet dat alleen LaTeX door punt LaTeX gaat? (zie tekst bovenaan)

Dit is trouwens mijn "eigen" aanpak, voordat ik uw hints las:

Op de middelbare school deed ik het altijd namelijk zo:
LaTeX hiervan is LaTeX onbekend.
Aangezien hij door punt LaTeX gaat vul ik hem in en krijg ik als volgt:
LaTeX
LaTeX
LaTeX

dus de formule voor LaTeX is LaTeX .
Nu stel ik hem gelijk aan K:
LaTeX
LaTeX

hoe ga ik verder of is dit een totaal verkeerde aanpak?

PS: ik post strakjes de aanpak van foodanity, tenminste hoe ik de aanpak opvat.

Veranderd door ntstudent, 12 september 2008 - 16:53

To invent something you need to see what everyone sees, do what everybody does and think that nobody has though of.

#6

Heezen

    Heezen


  • >250 berichten
  • 481 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 12 september 2008 - 17:03

Wat grappig, jij zit dus ook hier op het Uithof..lol, ik ook dus :D
Goed, mijn aanpak was:
alfa=wortel(A+C)
Die lijn heeft vergelijking y=tx-x+alfa=t(x-1)+alfa
(Algemene lijn die door (1,alfa) gaat.)
Dit moet je gebruiken om Ax^2+C=y^2
dus
Ax^2+C=(t(x-1)+alfa)^2
Dan heb je dus de snijpunten, oplossen naar x en klaar.

Uiteindelijk krijg je iets in de vorm ax^2+bx+c=0 en dan kan je of de ABC formule gebruiken, maar daar wordt je niet blij van, ůf je kan het doen zoals de docent ook deed:
x0*x1=c/a
Waarbij x0 en x1 oplossingen zijn. We weten ťťn oplossing, namelijk (1,alfa)
Procrastination is like masturbation; it's all fun and games till you realize you just fucked urself..
Correct me if I'm wrong.

#7

ntstudent

    ntstudent


  • >250 berichten
  • 577 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 12 september 2008 - 17:05

zeg niet dat jullie allemaal ook bachelors zijn? :D
To invent something you need to see what everyone sees, do what everybody does and think that nobody has though of.

#8

Heezen

    Heezen


  • >250 berichten
  • 481 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 12 september 2008 - 17:06

zeg niet dat jullie allemaal ook bachelors zijn? :D

Hehe, kerel we zaten maandag allemaal bij elkaar met kaleidoscoop :P
Procrastination is like masturbation; it's all fun and games till you realize you just fucked urself..
Correct me if I'm wrong.

#9

ntstudent

    ntstudent


  • >250 berichten
  • 577 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 12 september 2008 - 17:07

LaTeX hoezo heeft een rechte lijn deze vergelijking? Ik leerde vroeger altijd dat een rechte lijn gewoon: LaTeX is in dit geval is het dus: LaTeX
To invent something you need to see what everyone sees, do what everybody does and think that nobody has though of.

#10

Heezen

    Heezen


  • >250 berichten
  • 481 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 12 september 2008 - 17:11

De algemene formule voor een lijn luidt:
y=mx+b
We weten dat (1,alfa) een punt op deze lijn is, we vullen dit in ( en t is de hellingsgetal)
y=tx+b
alfa=t(1)+b
b=alfa-t

Dus:
y=tx+alfa-t
y=t(x-1)+alfa
Procrastination is like masturbation; it's all fun and games till you realize you just fucked urself..
Correct me if I'm wrong.

#11

ntstudent

    ntstudent


  • >250 berichten
  • 577 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 12 september 2008 - 17:29

"y=tx-x+alfa=t(x-1)+alfa" ik schrijf hem even in Latex:

LaTeX oftewel LaTeX

het hoort dit te zijn toch? =)
y=tx+alfa-t
y=t(x-1)+alfa

(ik voel me nu best dom dat ik dit stel aan allemaal mensen die hetzelfde doen als ik xD); ik snap hem als het goed is nu =) Thnx "klasgenoten" :D

Veranderd door ntstudent, 12 september 2008 - 17:32

To invent something you need to see what everyone sees, do what everybody does and think that nobody has though of.

#12

ntstudent

    ntstudent


  • >250 berichten
  • 577 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 12 september 2008 - 17:53

PS: de aanpak had ik goed, alleen ik heb een probleem met het "herleiden naar x". Verder was wat algebra van mijn vorige post ook beetje fout, omdat ik in plaats van LaTeX hem gewoon volop schreef.

LaTeX
LaTeX
LaTeX
LaTeX
LaTeX

hoe ga ik verder? :D
To invent something you need to see what everyone sees, do what everybody does and think that nobody has though of.

#13

Heezen

    Heezen


  • >250 berichten
  • 481 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 12 september 2008 - 22:31

Aan wat is alfa^2 gelijk?
En gebruik het truucje wat ik in een paar posts terug heb gezegd, en die de kerel die dit alles heeft uitgelegd ook zei:
x0*x1=c/a, waarbij x0=1, en x1 willen we vinden..

Je kan ook de abc formule gebruiken maar dat maakt het veel onoverzichtelijker..
Procrastination is like masturbation; it's all fun and games till you realize you just fucked urself..
Correct me if I'm wrong.

#14

foodanity

    foodanity


  • >100 berichten
  • 177 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 13 september 2008 - 15:24

Die vergelijking van een lijn is heel makkelijk na te gaan:
de richtingscoefficient wordt gedefinieerd als: LaTeX ook wel LaTeX

met (x0, y0) een willekeurige gekozen punt op de lijn. Nu volgt uit deze definitie van de rico:

LaTeX

Gewoon beide kanten van de vergelijking vermenigvuldigt met (x-x0)

Als je deze dan omzet naar y krijg je dus:
LaTeX

Nu is het punt P bekend dat op de lijn ligt: (1, LaTeX ). Dus kunnen we onze x0 en y0 invullen in deze vergelijking. Dus gaat onze vergelijking over in:
LaTeX

Nu heb je gewoon even logisch een vergelijking van een lijn afgeleid in plaats van klakkeloos aan te nemen dat de vergelijking altijd voldoet aan y=ax+b. Nu weet je dus ook waarom...

#15

Phys

    Phys


  • >5k berichten
  • 7556 berichten
  • VIP

Geplaatst op 13 september 2008 - 15:31

Nu heb je gewoon even logisch een vergelijking van een lijn afgeleid in plaats van klakkeloos aan te nemen dat de vergelijking altijd voldoet aan y=ax+b. Nu weet je dus ook waarom...

Het is niet zo dat je nu hebt aangetoond dat een rechte altijd voldoet aan y=ax+b.
Je kunt overigens best ('klakkeloos') uitgaan van y(x)=ax+b, en dan zoals Heezen hier aangaf het punt (1,alfa) invullen, zodat er keurig uit komt rollen b=alfa-t.
Never express yourself more clearly than you think.
- Niels Bohr -





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures