Linear operator
Forumregels
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
-
- Berichten: 40
Linear operator
Ik had een vraag m.b.t een linear operator.. de definitie ervan is als volgt:
L(c1u1 + c2u2) = c1L(u1) + c2L(u2)
Nu vroeg ik me af, hoe toon je aan dat dit:
L(u) = d/dx [ K(x)*(du/dx) ] ; wel een linear operator is
maar dit
L(u) = d/dx [ K(x,u)*(du/dx) ] ; geen linear operator is?
Ik zit hier al werkelijk een poos naar te kijken, maar zie steeds niet waar t naar toe moet:P
Zou iemand me kunnen helpen en wat uitleg verschaffen?
Vriendelijke groet,
NvdB
L(c1u1 + c2u2) = c1L(u1) + c2L(u2)
Nu vroeg ik me af, hoe toon je aan dat dit:
L(u) = d/dx [ K(x)*(du/dx) ] ; wel een linear operator is
maar dit
L(u) = d/dx [ K(x,u)*(du/dx) ] ; geen linear operator is?
Ik zit hier al werkelijk een poos naar te kijken, maar zie steeds niet waar t naar toe moet:P
Zou iemand me kunnen helpen en wat uitleg verschaffen?
Vriendelijke groet,
NvdB
-
- Berichten: 4.246
Re: Linear operator
Uitwerken.NvdB schreef:Nu vroeg ik me af, hoe toon je aan dat dit:
L(u) = d/dx [ K(x)*(du/dx) ] ; wel een linear operator is
Door bij het uitwerken rekening te houden met de kettingregel.NvdB schreef:maar dit
L(u) = d/dx [ K(x,u)*(du/dx) ] ; geen linear operator is?
Quitters never win and winners never quit.
-
- Berichten: 40
Re: Linear operator
hm oke, sorry voor het late antwoord!
maar ik heb het dus proberen uit te schrijven, en dan kom ik bij het eerste geval (dat wel een linear operator moet zijn) tot:
[dK0/dx*du/dx + K0*d^2u/dx^2] * [c1u1+c2u2] == c1*[dK0/dx * du1/dx + K0 *d^2u1/dx^2] + c2*[dK0/dx *du2/dx + K0 *d^2u2/dx^2 ]
dit zou gelijk moeten zijn, maar hoe bewijs ik dit nu precies? Ik vraag me echt af ik de goede weg bewandel....
MvG NvdB
maar ik heb het dus proberen uit te schrijven, en dan kom ik bij het eerste geval (dat wel een linear operator moet zijn) tot:
[dK0/dx*du/dx + K0*d^2u/dx^2] * [c1u1+c2u2] == c1*[dK0/dx * du1/dx + K0 *d^2u1/dx^2] + c2*[dK0/dx *du2/dx + K0 *d^2u2/dx^2 ]
dit zou gelijk moeten zijn, maar hoe bewijs ik dit nu precies? Ik vraag me echt af ik de goede weg bewandel....
MvG NvdB
- Berichten: 24.578
Re: Linear operator
Ik zal je de lineariteit van de eerste tonen, dan probeer jij de tweede.
Ik noteer voor het gemak: K voor K(x), cu+dv als lineaire combinatie met u = u(x) en v = v(x), accent voor afgeleide naar x.
Ik noteer voor het gemak: K voor K(x), cu+dv als lineaire combinatie met u = u(x) en v = v(x), accent voor afgeleide naar x.
\(L\left( u \right) = \left( {Ku'} \right)^\prime = K'u' + Ku''\)
\(L\left( {cu + dv} \right) = \left( {K\left( {cu + dv} \right)^\prime } \right)^\prime = K'\left( {cu + dv} \right)^\prime + K\left( {cu + dv} \right)^{\prime \prime }\)
\( = K'\left( {cu' + dv'} \right) + K\left( {cu'' + dv''} \right) = c\left( {K'u' + Ku''} \right) + d\left( {K'v' + Kv''} \right)\)
\( = c\left( {Ku'} \right)^\prime + d\left( {Kv'} \right)^\prime = cL\left( u \right) + dL\left( v \right)\)
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)