Springen naar inhoud

[wiskunde] lineaire algebra


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Compa

    Compa


  • >25 berichten
  • 63 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 13 september 2008 - 18:05

Dag,

Ik heb de volgende vraag over lin. algebra.

Ik kreeg van mijn docent de volgende vraag:
''Gegeven vectoren a en b, met b ongelijk aan de nulvector.
a) De vector a kan worden geschreven als de som van twee vectoren: a =
a⊥+all (dus als de som van een vector loodrecht op b en een vector parallel
aan b). Bepaal nu een uitdrukking voor de constante c zodanig dat
all = cb.''

''all'' staat dus voor de vector parallel aan b.
Ik ben als volgt te werk gegaan.

a = a⊥ + all
dus all= a - a⊥
maar (a⊥) ⊥ (b) = 0
dus (a⊥)*(b) = 0
vervolgens substitueer ik a⊥ door (a - all)
dan krijg ik
((a - all)*(b) = 0
=> (a*b) - (all*b) = 0
dus (a*b) = (all*b) (?)
=> a = all
Ik weet dat ik het antwoord nog niet heb, maar mag ik b schrappen bij de vergelijking waar (?) achter staat?

Bedankt!

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Compa

    Compa


  • >25 berichten
  • 63 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 13 september 2008 - 18:44

dit is een foutje : ''(a⊥) ⊥ (b) = 0"

#3

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 13 september 2008 - 18:58

Nee, dat kan zomaar niet want er staat een scalair product en geen gewone vermenigvuldiging van getallen.

Maar aangezien b en a_|| veelvouden zijn van elkaar, geldt:

LaTeX
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#4

Compa

    Compa


  • >25 berichten
  • 63 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 13 september 2008 - 20:32

Ah, hartstikke bedankt.
De antwoord op de vraag is toch gewoon: c= all/b ?

#5

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 13 september 2008 - 21:00

Dat klopt natuurlijk, want je hebt c net gedefinieerd als de evenredigheidsconstante zodat a_||=cb.
Maar ik denk dat je een formule in functie van de (oorspronkelijk gegeven) a en b moet vinden...
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#6

Compa

    Compa


  • >25 berichten
  • 63 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 13 september 2008 - 21:10

Ja precies, dat dacht ik dus ook al.
Want eigenlijk wordt het antwoord dus zo weggeven.
Maar ik weet echt niet hoe ik met t gegeven; a = all + a⊥ verder moet manipuleren totdat ik bij all = c * b kom.

#7

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 13 september 2008 - 21:41

Je was goed begonnen en na je laatste stap (in plaats van "b" weg te delen, want dat kon niet) gaf ik:

LaTeX

Zodat:

LaTeX

Je weet dat b en a_|| in elkaars verlengde liggen, dus (het getal) c vind je als verhouding van de normen van a_|| en b. Nu ben je er toch bijna?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#8

Compa

    Compa


  • >25 berichten
  • 63 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 14 september 2008 - 14:29

Maar aangezien b en a_|| veelvouden zijn van elkaar, geldt:

LaTeX


Hmm, maar hoe leid je dit af dan?:
LaTeX

Veranderd door Compa, 14 september 2008 - 14:30


#9

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 14 september 2008 - 14:48

Je weet dat volgens het inproduct:

LaTeX

Met alfa de hoek tussen deze vectoren, maar die is 0 (en dus de cosinus 1) want de vectoren zijn per definitie evenwijdig.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#10

Phys

    Phys


  • >5k berichten
  • 7556 berichten
  • VIP

Geplaatst op 14 september 2008 - 14:49

Wat doet een inproduct? Het inproduct tussen vectoren a en b is gelijk aan de grootte van a maal de projectie van b op a. Echter, omdat b en a// veelvouden van elkaar zijn, oftewel in elkaars verlengde liggen, is de projectie van a// op b hetzelfde als de grootte van a// zelf. In symbolen:
b.a//=|b||a//| cos(t) met t de hoek tussen vectoren b en a//. Die hoek is nul (want ze zijn veelvouden van elkaar), dus
b.a//=|b||a//|.

\\edit: TD was alweer eerder!
Never express yourself more clearly than you think.
- Niels Bohr -

#11

Compa

    Compa


  • >25 berichten
  • 63 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 14 september 2008 - 16:01

Ooh, de cosinusregel.
Maar eerlijk gezegd zie ik de oplossing nog steeds niet.
Ik weet nog steeds niet wat ik eraan heb dat a//*b = a * b = ||a//||*||b||
Ik weet dat a// en b elkaars verlengde zijn, dus iets maal a// = ||a//||*||b|| of iets maal b = ||a//||*||b||
maar ik snap niet waarom het nou a// = c*b is en waarom niet bijvoorbeeld b = c * a//.

:D :P

#12

Phys

    Phys


  • >5k berichten
  • 7556 berichten
  • VIP

Geplaatst op 14 september 2008 - 16:06

Okť, we zijn gebleven bij LaTeX . Hieruit kun je een uitdrukking voor LaTeX afleiden.
Je had eerder al bedacht dat LaTeX .
Combineer deze twee en je hebt je antwoord, uitgedrukt in alleen de gegeven vectoren a en b.
Never express yourself more clearly than you think.
- Niels Bohr -

#13

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 14 september 2008 - 16:09

Je bent denk ik een beetje in de war. Sta me toe terug samen te vatten.

Voor elke niet-nulle vector b kan elke vector a geschreven worden als som van twee vectoren: een component die loodrecht op b staat en een component die volgens b ligt. Deze tweede component noteren we a_|| en volgens de definitie van deze component bestaat er een c zodat b = c.a_||, want ze zijn evenwijdig! Je kan natuurlijk net zo goed zeggen dat a_|| = c.b, deze c is gewoon het omgekeerde van de vorige!

Wat er nu gevraagd is, is om deze evenredigheidsconstante c (een getal, geen vector) uit te drukken met behulp van de oorspronkelijke vectoren a en b. Daarvoor ben je gekomen tot:

LaTeX

En uit "a_|| = c.b" weet je dat c gegeven wordt door LaTeX . Kan je dit niet uit de vorige betrekking halen?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#14

Compa

    Compa


  • >25 berichten
  • 63 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 14 september 2008 - 16:39

Bedankt.
Ik dacht dat ik juist niet mochten gebruiken dat c = |a//| / |b|
Maar nu heb ik hem, hartelijk bedankt TD en Phys en andere mensen voor jullie inspanning.

#15

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 14 september 2008 - 16:40

Graag gedaan.

Je kan geen vectoren delen, maar wel de normen natuurlijk. Wat vind je uiteindelijk voor c?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures