Integraalvoorstelling van wortel x?

M.B.

Hey,

heb zeer leuke integraal (een N-voudige) uit te rekenen, namelijk met een wortelfunctie in.

Echter, het argument onder die wortel is niet zo eenvoudig zodat de standaardoplossing niet opgaat.

Het zou eenvoudiger zijn om de wortelfunctie als een integraal voor te stellen...

Ik weet dat ze bestaat, maar vind ze niet

Iemand een idee, aub?

Phys

Ik begrijp niet goed wat je bedoelt. Kun je de zeer leuke integraal eens geven?

M.B.

\(f(q)=c(q)\int dp_{1}\int dp_{2}\ldots\int dp_{N-1}\sqrt{V(q_{j})-\sum_{j=1}^{N-1}p_{j}^{2}}\)

Deze zou makkelijker op te lossen zijn als je de integraalvoorstelling voor de wortel gebruikt.

Dus

\(\sqrt{x}=\int\ldots\)

?

Hallo1979

M.B. schreef:
\(f(q)=c(q)\int dp_{1}\int dp_{2}\ldots\int dp_{N-1}\sqrt{V(q_{j})-\sum_{j=1}^{N-1}p_{j}^{2}}\)
Deze zou makkelijker op te lossen zijn als je de integraalvoorstelling voor de wortel gebruikt.

Dus
\(\sqrt{x}=\int\ldots\)
?

de integraal van wortel(x) is dezelfde als x^n (alleen is n = 1/2)

\(\int x^n = \frac{1}{n+1} x^{n+1}\)

de integraal om

\(\sqrt{x}\)

te krijgen is de afgeleide van

\(\sqrt{x}\)

:

\(\sqrt{x}= \int \frac{d}{dx} \sqrt{x}dx = \sqrt{x} \)

\(\frac{d}{dx} \sqrt{x} = \frac{1}{2\sqrt{x}} \)

HosteDenis

Dus
\(\sqrt{x}=\int\ldots\)
?

\(\sqrt{x}=\int \frac{1}{2 \sqrt{x}} \; \mbox{d}x\)

Denis

dirkwb

HosteDenis schreef:
\(\sqrt{x}=\int \frac{1}{2 \sqrt{x}} \; \mbox{d}x\)
Denis

Ja... maar hoe helpt dat?

M.B.

Ok, volledig mee akkoord.

Echter, het doel is om al die integraties te kunnen uitvoeren, waarbij de moeilijkheid hem zit in de sommatie onder de wortel. Moest de wortel van een som de som van de wortels zijn, dan had er geen moeilijkheid geweest.

Ik gok (beredeneerd) de wortel te schrijven moet kunnen zijn als de integraal van een e-macht of zoiets, waarbij ge dan wel het argument kunt opsplitsen in de exponent en al die integraties onafhankelijk kunt doen.

Phys

@Denis: lees het bericht boven je (nog) eens!

@M.B.: is dit een integraal die voorkomt in de statistische fysica?

M.B.

Ja...?

dirkwb

Ja...?

Met dit soort antwoorden kunnen we niets en vermindert ook de kans dat iemand je (verder)helpt....

M.B.

Het speelt toch geen rol waar hij vandaan komt?

Ik heb hem als oefening opgekregen en moet hem zo elegant mogelijk zien op te lossen.

De opgave staat ergens bovenaan en de rest is bijkomstig, zo simpel is dat.

jhnbk

Het kan natuurlijk zijn dat als er iemand meer uitleg krijgt over de context, gewoon naar zijn boekenkast loopt, even bladert, en dan direct het antwoord vindt.

Hallo1979

ah uit de statistische fysica... je moet er een bolvergelijking van maken in N dimensies. heb het boek niet bij de hand, maar kijk in: Statistical mechanics and thermodynamics van Garrod daar is een appendix aan deze integralen gewijd

M.B.

Het enige wat ik daarvan vind is de algemene formule voor een D-dimensionale bol.

De N-1 integralen zijn telkens 3dimensionale integralen (px, py en pz)

In bolcoordinaten zou ik verwachten dat er dan N-1 keer \(4\pi\) naar voorkomt (sferisch symmetrisch dus de integratie over de hoeken kan je zo uitvoeren)

De sommatie met kwadratische elementen denk ik kan je dan vervangen door de straal r. Maar dit leidt er toch niet toe dat je op slechts één integraal uitkomt? Er blijven er toch N-1 staan?

M.B.

Het blijkt inderdaad op een 3N dimensionale bol uit te draaien na overgang op bolcoordinaten.

Te vinden in "Equilibrium statistical mechanics" van Gene F. Mazenko, het stuk over microcanonisch ensemble.

Bedankt voor de hulp!

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

Integraalvoorstelling van wortel x?

Integraalvoorstelling van wortel x?

Re: Integraalvoorstelling van wortel x?

Re: Integraalvoorstelling van wortel x?

Re: Integraalvoorstelling van wortel x?

Re: Integraalvoorstelling van wortel x?

Re: Integraalvoorstelling van wortel x?

Re: Integraalvoorstelling van wortel x?

Re: Integraalvoorstelling van wortel x?

Re: Integraalvoorstelling van wortel x?

Re: Integraalvoorstelling van wortel x?

Re: Integraalvoorstelling van wortel x?

Re: Integraalvoorstelling van wortel x?

Re: Integraalvoorstelling van wortel x?

Re: Integraalvoorstelling van wortel x?

Re: Integraalvoorstelling van wortel x?