Springen naar inhoud

Slingerbeweging


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Victor

    Victor


  • >250 berichten
  • 311 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 19 september 2008 - 15:16

Kan iemand eens m'n werkwijze controleren? Het volgend fysisch probleem heb'k proberen vertalen in wiskunde. Maar als'k die uitwerk, dan blijkt de uitkomst niet mogelijk.

slinger.GIF

Een blokje van 2 kg (beschouwd als een puntmassa) hangt aan een touwtje, vastgemaakt aan het plafond. Het blokje wordt vastgehouden in punt A. Dan wordt het blokje afgeschoten met een beginsnelheid van 10m/s. Gevraagd is nu de snelheid in punt C. Hou geen rekening met wrijving. Fysisch gezien is dit heel eenvoudig. Antwoord = 10m/s, behoud van energie. Nu wou ik het eens uitrekenen op een andere manier, zonder formules voor energie-inhoud maar met de formules voor valversnelling. En op punt C aangekomen, heeft het blokje een hogere snelheid dan de beginsnelheid, goed fout dus. M'n werkwijze:

v0= beginsnelheid= 10m/s
r= lengte touwtje= 5m
g= valversnelling= 9.81m/s▓
m= massa blokje = 2kg

Vooreest, van het punt A naar B:
Beschouw de val van het blokje als een verticale simpele val, met een aangepaste zwaartekrachtconstante g, die afhankelijk is van de hoek alpha. De aangepaste valversnelling wordt: g*cos(alpha) => in punt a is de valversnelling 9.81m/s▓, in punt B is deze 0m/s▓. De aangepaste valvergelijkingen worden:

v=v0+g*cos(alpha)*t
r=v0*t+g*cos(alpha)*t▓/2

Uit de 2de vergelijking wordt de positieve tijd gesubstitueerd en in de eerste gestopt:

tijd_en_snelheid.GIF

Als nu alle getallen worden ingevuld bekomt men:

ingevuld.GIF

Nu worden beide leden ge´ntegreerd, om de kwartslag slingerbeweging na te bootsen, het linkerlid van de beginsnelheid tot de gevraagde snelheid, en het rechterlid van 0░ tot 90░:

integraal_1.GIF

De gevraagde snelheid in punt B blijkt: 11.82609558m/s

Nu, van het punt B naar C: 2 dingen worden aangepast: de beginsnelheid, en de hoekgrenzen.
De beginsnelheid is nu 11.82609558m/s. Dezelfde hoek alpha wordt gebruikt.
De valversnelling g wordt dus onderaan 0, want cos(90░)=0, en g wordt -9.81m/s▓ als het blokje zich in punt C bevindt, want cos (180░)=-1. Voor de rest worden dezelfde formules gebruikt, want de tekenomslag ligt in de cos(alpha):
v=v0+g*cos(alpha)*t
r=v0*t+g*cos(alpha)*t▓/2

Alles ingevuld en gesubstitueerd naar v:
snelheid_2.GIF

Dezelfde integraal wordt gebruikt, maar de hoekgrenzen worden 90░ en 180░, en de snelheidsgrenzen vanaf 11.82609558m/s tot de gevraagde snelheid:

integraal2.GIF

De gevraagde snelheid in punt C blijkt te zijn: 12.92208244m/s
Normaal zou dit terug 10m/s moeten uitkomen...

Ziet iemand m'n fout?

Erg bedankt!
Victor
Only an optimist can see the nature of suffering

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Phys

    Phys


  • >5k berichten
  • 7556 berichten
  • VIP

Geplaatst op 19 september 2008 - 16:59

Het gaat mis omdat de versnelling die het deeltje ondergaat niet constant is, terwijl jij doet alsof dat wel zo is. Immers, alpha hangt zelf ook van de tijd af! Je kunt dus niet simpel integreren naar de tijd om de snelheid te vinden door alfa als constant te beschouwen. Dus helemaal in het begin van je berekening gaat het mis:

v=v0+g*cos(alpha)*t


Als je dit probleem met Newton oplost, kijk je eerst naar de resulterende kracht. Voor het gemak werken we in poolcoordinaten, (r,phi) (met phi = alpha). Aangezien het deeltje niet in de lengterichting van het touw beweegt (de spankracht zorgt daarvoor: de nettokracht in de r-richting is nul), is r constant. Dit zorgt voor een nettokracht in de phi-richting van LaTeX .We hebben dus de differentiaalvergelijking
LaTeX , met randvoorwaarden
LaTeX en LaTeX
Deze is denk ik niet analytisch op te lossen, Mathematica heeft er in ieder geval veel moeite mee. Helaas.
De kleine-hoeken-benadering is hier vanzelfsprekend niet toepasbaar (groter kunnen de hoeken niet worden!).
Hier is energiebehoud dan ook de aangewezen methode :D
Never express yourself more clearly than you think.
- Niels Bohr -

#3

Jan van de Velde

    Jan van de Velde


  • >5k berichten
  • 44858 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 19 september 2008 - 17:04

Deze is denk ik niet analytisch op te lossen,

Dat zal ook inderdaad niet lukken. Ik ben geen groot wiskundige, maar heb deze vraag inmiddels vaak genoeg gesteld en ook voorbij zien komen, en het antwoord is altijd en overal: "Lukt niet".
ALS WIJ JE GEHOLPEN HEBBEN....
help ons dan eiwitten vouwen, en help mee ziekten als kanker en zo te bestrijden in de vrije tijd van je chip...
http://www.wetenscha...showtopic=59270

#4

Phys

    Phys


  • >5k berichten
  • 7556 berichten
  • VIP

Geplaatst op 19 september 2008 - 17:21

Ik schreef 'denk ik' omdat Mathematica mij (op voorwaarde dat ik de randcondities wegliet, anders kreeg ik niets) de JacobiAmplitude gaf, de amplitude van de Jacobi elliptische integraal. Nu zijn dit soort 'functies' soms ook alleen maar een andere manier van schrijven van het probleem, zonder een echte oplossing te kunnen geven (behoudens bij bepaalde mooie waarden), maar wellicht is er nog iets mee te doen (benaderen...) door een welwillend persoon.
In ieder geval hoop ik dat ik duidelijk heb kunnen maken waar Victor de mist inging.
Never express yourself more clearly than you think.
- Niels Bohr -

#5

Victor

    Victor


  • >250 berichten
  • 311 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 19 september 2008 - 21:23

Bedankt!

Ja, ik zie de mist rondom me! Differentiaalvergelijkingen opstellen vind ik moeilijk. We hebben er nooit veel (fysische) oefeningen rond gemaakt. Maar ik zou dit soort vraagstukken zo graag onder de knie krijgen.... zal er een nachtje over slapen en morgen eens herbeginnen. Gewoon om jouw antwoord zelf eens proberen te vinden...

Misschien kan 'Maple 11' het oplossen?

Dankjewel om eens te roepen in die mist!
Nu weet ik ongeveer welke richting te lopen..

Victor
Only an optimist can see the nature of suffering

#6

Jan van de Velde

    Jan van de Velde


  • >5k berichten
  • 44858 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 19 september 2008 - 21:41

Misschien kan 'Maple 11' het oplossen?

Nee. Maar zelfs in excel kun je het benaderen.
ALS WIJ JE GEHOLPEN HEBBEN....
help ons dan eiwitten vouwen, en help mee ziekten als kanker en zo te bestrijden in de vrije tijd van je chip...
http://www.wetenscha...showtopic=59270

#7

Phys

    Phys


  • >5k berichten
  • 7556 berichten
  • VIP

Geplaatst op 19 september 2008 - 21:45

Bedankt!

Graag gedaan :D

Differentiaalvergelijkingen opstellen vind ik moeilijk. We hebben er nooit veel (fysische) oefeningen rond gemaakt. Maar ik zou dit soort vraagstukken zo graag onder de knie krijgen.... zal er een nachtje over slapen en morgen eens herbeginnen. Gewoon om jouw antwoord zelf eens proberen te vinden...

Op zich is de algemene aanpak vrij eenvoudig: vind de nettokracht op het deeltje, en stel het dan - via de wet van Newton - gelijk aan m*a. Het handigste is om deze vectorvergelijking - kracht en versnelling zijn vectoren - om te zetten in scalaire vergelijkingen: ÚÚn vergelijking per component.
Dan heb je al direct een (differentiaal)vergelijking voor de versnelling, waaruit je de snelheid en positie kunt halen door te integreren - hetgeen niet altijd even makkelijk expliciet te doen is zoals uit dit probleem blijkt.
Never express yourself more clearly than you think.
- Niels Bohr -

#8

dirkwb

    dirkwb


  • >1k berichten
  • 4172 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 20 september 2008 - 10:09

Aangezien het deeltje niet in de lengterichting van het touw beweegt (de spankracht zorgt daarvoor: de nettokracht in de r-richting is nul), is r constant. Dit zorgt voor een nettokracht in de phi-richting van LaTeX

.We hebben dus de differentiaalvergelijking
LaTeX , met randvoorwaarden
LaTeX en LaTeX

Hoe kom je aan de DV? En mis je niet een factor 1/r bij de 10? Of heb je expres de constantes weggelaten?

Veranderd door dirkwb, 20 september 2008 - 10:18

Quitters never win and winners never quit.

#9

Phys

    Phys


  • >5k berichten
  • 7556 berichten
  • VIP

Geplaatst op 20 september 2008 - 11:15

Hoe kom je aan de DV?

Tja, veel duidelijker kan ik het nietmaken vrees ik. Ik heb LaTeX
Misschien even een schets maken? Ik werk dus in poolcoodinaten, aangezien de baan die het deeltje aflegt een halve cirkel is. De eenheidsvector LaTeX staat loodrecht op de straal. Waar ben je het niet mee eens?

En mis je niet een factor 1/r bij de 10? Of heb je expres de constantes weggelaten?

1/r ? De snelheid op t=0 is 10 m/s, dat is toch gegeven? Voor zover ik weet heb ik geen constantes weggelaten. Maar ik word graag gecorrigeerd :D
Never express yourself more clearly than you think.
- Niels Bohr -

#10

dirkwb

    dirkwb


  • >1k berichten
  • 4172 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 20 september 2008 - 17:17

Tja, veel duidelijker kan ik het nietmaken vrees ik. Ik heb LaTeX


Misschien even een schets maken? Ik werk dus in poolcoodinaten, aangezien de baan die het deeltje aflegt een halve cirkel is. De eenheidsvector LaTeX staat loodrecht op de straal. Waar ben je het niet mee eens?

LaTeX

Zie ook hier.

1/r ? De snelheid op t=0 is 10 m/s, dat is toch gegeven? Voor zover ik weet heb ik geen constantes weggelaten. Maar ik word graag gecorrigeerd :D

LaTeX is in rad/s en v in m/s.
Quitters never win and winners never quit.

#11

dirkwb

    dirkwb


  • >1k berichten
  • 4172 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 21 september 2008 - 09:43

LaTeX

is in rad/s en v in m/s.

Ter correctie LaTeX in rad/s.
Quitters never win and winners never quit.

#12

Victor

    Victor


  • >250 berichten
  • 311 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 21 september 2008 - 10:14

Dit zorgt voor een nettokracht in de phi-richting van LaTeX

.We hebben dus de differentiaalvergelijking
LaTeX , met randvoorwaarden
LaTeX en LaTeX


Kun je mij nog eens uitleggen...hoe de differentiaalvergelijking wordt opgesteld? Ik ben er echt niet goed in...
Wat ik wel begrijp: LaTeX Dus alles zet je in functie van de hoek, die op zijn beurt afhankelijk is van de tijd? De versnelling vervangen door de 2de afgeleide van de hoek, en de massa geschrapt. Tenslotte leg je 2 randvoorwaarden vast, die vertellen hoe de beginsituatie is, op tijdstip 0; hoek is 0 en snelheid is 10.

Klopt deze werkwijze? Misschien begin ik het te snappen...maar, is er nu nog iets fout met de straal opdat de tweede afgeleide de versnelling zou opleveren? Maakt dirkwb gebruik van de kleine-hoeken-benadering door te stellen dat de hoek vermenigvuldigd met de straal gelijk is aan de afgelegde weg op de cirkelbaan?

Veranderd door Victor, 21 september 2008 - 10:17

Only an optimist can see the nature of suffering

#13

Phys

    Phys


  • >5k berichten
  • 7556 berichten
  • VIP

Geplaatst op 21 september 2008 - 14:16

:D I stand corrected. Bedankt, dirkwb! En excuses aan Victor voor de veroorzaakte verwarring, geen wonder dat je mijn methode niet begrijpt: ze klopt niet! De fout in mijn uitwerking zat hem hierin: ik stelde LaTeX . Ik had echter de versnelling in poolcoordinaten moeten uitschrijven: LaTeX , en bij constante straal - zoals hier - krijg je dus LaTeX . Dat scheelt een factor R, en dat is precies de factor die ik miste.

Ik denk dat de link van dirkwb alles uitlegt. Lees die maar eens door, daar staat een uitgebreide uitwerking (op verschillende manieren).

Ik dacht nog: zal ik eens kijken wat eruit komt met Langrange-Hamilton, dat had ik dus moeten doen. Voor de ge´nteresseerden:
Verborgen inhoud

snelheid in poolcoordinaten: LaTeX
Maar de straal r is constant, dus noem deze R, en LaTeX .
Kinetische energie wordt gegeven door LaTeX
PotentiŰle energie: LaTeX
Dus de Lagrangiaan wordt LaTeX

De bewegingsvergelijking wordt dus LaTeX oftewel LaTeX
Dus LaTeX waaruit volgt LaTeX

LaTeX is nu dus de hoek zoals aangegeven op de tekening van de link; gelijk aan pi/2-alfa.
Randvoorwaarden zijn LaTeX en LaTeX
Never express yourself more clearly than you think.
- Niels Bohr -





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures