Slingerbeweging
Moderator: physicalattraction
-
- Berichten: 311
Slingerbeweging
Kan iemand eens m'n werkwijze controleren? Het volgend fysisch probleem heb'k proberen vertalen in wiskunde. Maar als'k die uitwerk, dan blijkt de uitkomst niet mogelijk.
Een blokje van 2 kg (beschouwd als een puntmassa) hangt aan een touwtje, vastgemaakt aan het plafond. Het blokje wordt vastgehouden in punt A. Dan wordt het blokje afgeschoten met een beginsnelheid van 10m/s. Gevraagd is nu de snelheid in punt C. Hou geen rekening met wrijving. Fysisch gezien is dit heel eenvoudig. Antwoord = 10m/s, behoud van energie. Nu wou ik het eens uitrekenen op een andere manier, zonder formules voor energie-inhoud maar met de formules voor valversnelling. En op punt C aangekomen, heeft het blokje een hogere snelheid dan de beginsnelheid, goed fout dus. M'n werkwijze:
v0= beginsnelheid= 10m/s
r= lengte touwtje= 5m
g= valversnelling= 9.81m/s²
m= massa blokje = 2kg
Vooreest, van het punt A naar B:
Beschouw de val van het blokje als een verticale simpele val, met een aangepaste zwaartekrachtconstante g, die afhankelijk is van de hoek alpha. De aangepaste valversnelling wordt: g*cos(alpha) => in punt a is de valversnelling 9.81m/s², in punt B is deze 0m/s². De aangepaste valvergelijkingen worden:
v=v0+g*cos(alpha)*t
r=v0*t+g*cos(alpha)*t²/2
Uit de 2de vergelijking wordt de positieve tijd gesubstitueerd en in de eerste gestopt:
Als nu alle getallen worden ingevuld bekomt men:
Nu worden beide leden geïntegreerd, om de kwartslag slingerbeweging na te bootsen, het linkerlid van de beginsnelheid tot de gevraagde snelheid, en het rechterlid van 0° tot 90°:
De gevraagde snelheid in punt B blijkt: 11.82609558m/s
Nu, van het punt B naar C: 2 dingen worden aangepast: de beginsnelheid, en de hoekgrenzen.
De beginsnelheid is nu 11.82609558m/s. Dezelfde hoek alpha wordt gebruikt.
De valversnelling g wordt dus onderaan 0, want cos(90°)=0, en g wordt -9.81m/s² als het blokje zich in punt C bevindt, want cos (180°)=-1. Voor de rest worden dezelfde formules gebruikt, want de tekenomslag ligt in de cos(alpha):
v=v0+g*cos(alpha)*t
r=v0*t+g*cos(alpha)*t²/2
Alles ingevuld en gesubstitueerd naar v:
Dezelfde integraal wordt gebruikt, maar de hoekgrenzen worden 90° en 180°, en de snelheidsgrenzen vanaf 11.82609558m/s tot de gevraagde snelheid:
De gevraagde snelheid in punt C blijkt te zijn: 12.92208244m/s
Normaal zou dit terug 10m/s moeten uitkomen...
Ziet iemand m'n fout?
Erg bedankt!
Victor
Een blokje van 2 kg (beschouwd als een puntmassa) hangt aan een touwtje, vastgemaakt aan het plafond. Het blokje wordt vastgehouden in punt A. Dan wordt het blokje afgeschoten met een beginsnelheid van 10m/s. Gevraagd is nu de snelheid in punt C. Hou geen rekening met wrijving. Fysisch gezien is dit heel eenvoudig. Antwoord = 10m/s, behoud van energie. Nu wou ik het eens uitrekenen op een andere manier, zonder formules voor energie-inhoud maar met de formules voor valversnelling. En op punt C aangekomen, heeft het blokje een hogere snelheid dan de beginsnelheid, goed fout dus. M'n werkwijze:
v0= beginsnelheid= 10m/s
r= lengte touwtje= 5m
g= valversnelling= 9.81m/s²
m= massa blokje = 2kg
Vooreest, van het punt A naar B:
Beschouw de val van het blokje als een verticale simpele val, met een aangepaste zwaartekrachtconstante g, die afhankelijk is van de hoek alpha. De aangepaste valversnelling wordt: g*cos(alpha) => in punt a is de valversnelling 9.81m/s², in punt B is deze 0m/s². De aangepaste valvergelijkingen worden:
v=v0+g*cos(alpha)*t
r=v0*t+g*cos(alpha)*t²/2
Uit de 2de vergelijking wordt de positieve tijd gesubstitueerd en in de eerste gestopt:
Als nu alle getallen worden ingevuld bekomt men:
Nu worden beide leden geïntegreerd, om de kwartslag slingerbeweging na te bootsen, het linkerlid van de beginsnelheid tot de gevraagde snelheid, en het rechterlid van 0° tot 90°:
De gevraagde snelheid in punt B blijkt: 11.82609558m/s
Nu, van het punt B naar C: 2 dingen worden aangepast: de beginsnelheid, en de hoekgrenzen.
De beginsnelheid is nu 11.82609558m/s. Dezelfde hoek alpha wordt gebruikt.
De valversnelling g wordt dus onderaan 0, want cos(90°)=0, en g wordt -9.81m/s² als het blokje zich in punt C bevindt, want cos (180°)=-1. Voor de rest worden dezelfde formules gebruikt, want de tekenomslag ligt in de cos(alpha):
v=v0+g*cos(alpha)*t
r=v0*t+g*cos(alpha)*t²/2
Alles ingevuld en gesubstitueerd naar v:
Dezelfde integraal wordt gebruikt, maar de hoekgrenzen worden 90° en 180°, en de snelheidsgrenzen vanaf 11.82609558m/s tot de gevraagde snelheid:
De gevraagde snelheid in punt C blijkt te zijn: 12.92208244m/s
Normaal zou dit terug 10m/s moeten uitkomen...
Ziet iemand m'n fout?
Erg bedankt!
Victor
Only an optimist can see the nature of suffering
- Berichten: 7.556
Re: Slingerbeweging
Het gaat mis omdat de versnelling die het deeltje ondergaat niet constant is, terwijl jij doet alsof dat wel zo is. Immers, alpha hangt zelf ook van de tijd af! Je kunt dus niet simpel integreren naar de tijd om de snelheid te vinden door alfa als constant te beschouwen. Dus helemaal in het begin van je berekening gaat het mis:
Als je dit probleem met Newton oplost, kijk je eerst naar de resulterende kracht. Voor het gemak werken we in poolcoordinaten, (r,phi) (met phi = alpha). Aangezien het deeltje niet in de lengterichting van het touw beweegt (de spankracht zorgt daarvoor: de nettokracht in de r-richting is nul), is r constant. Dit zorgt voor een nettokracht in de phi-richting van
De kleine-hoeken-benadering is hier vanzelfsprekend niet toepasbaar (groter kunnen de hoeken niet worden!).
Hier is energiebehoud dan ook de aangewezen methode
v=v0+g*cos(alpha)*t
Als je dit probleem met Newton oplost, kijk je eerst naar de resulterende kracht. Voor het gemak werken we in poolcoordinaten, (r,phi) (met phi = alpha). Aangezien het deeltje niet in de lengterichting van het touw beweegt (de spankracht zorgt daarvoor: de nettokracht in de r-richting is nul), is r constant. Dit zorgt voor een nettokracht in de phi-richting van
\(F_{\phi}=mg\cos\phi=ma_\phi\)
.We hebben dus de differentiaalvergelijking\(\ddot{\phi}(t)=g\cos(\phi(t))\)
, met randvoorwaarden\(\phi(0)=0\)
en \(\dot\phi(0)=10\)
Deze is denk ik niet analytisch op te lossen, Mathematica heeft er in ieder geval veel moeite mee. Helaas. De kleine-hoeken-benadering is hier vanzelfsprekend niet toepasbaar (groter kunnen de hoeken niet worden!).
Hier is energiebehoud dan ook de aangewezen methode
Never express yourself more clearly than you think.
- Niels Bohr -
- Niels Bohr -
- Moderator
- Berichten: 51.265
Re: Slingerbeweging
Dat zal ook inderdaad niet lukken. Ik ben geen groot wiskundige, maar heb deze vraag inmiddels vaak genoeg gesteld en ook voorbij zien komen, en het antwoord is altijd en overal: "Lukt niet".Deze is denk ik niet analytisch op te lossen,
ALS WIJ JE GEHOLPEN HEBBEN...
help ons dan eiwitten vouwen, en help mee ziekten als kanker en zo te bestrijden in de vrije tijd van je chip...
http://www.wetenscha...showtopic=59270
help ons dan eiwitten vouwen, en help mee ziekten als kanker en zo te bestrijden in de vrije tijd van je chip...
http://www.wetenscha...showtopic=59270
- Berichten: 7.556
Re: Slingerbeweging
Ik schreef 'denk ik' omdat Mathematica mij (op voorwaarde dat ik de randcondities wegliet, anders kreeg ik niets) de JacobiAmplitude gaf, de amplitude van de Jacobi elliptische integraal. Nu zijn dit soort 'functies' soms ook alleen maar een andere manier van schrijven van het probleem, zonder een echte oplossing te kunnen geven (behoudens bij bepaalde mooie waarden), maar wellicht is er nog iets mee te doen (benaderen...) door een welwillend persoon.
In ieder geval hoop ik dat ik duidelijk heb kunnen maken waar Victor de mist inging.
In ieder geval hoop ik dat ik duidelijk heb kunnen maken waar Victor de mist inging.
Never express yourself more clearly than you think.
- Niels Bohr -
- Niels Bohr -
-
- Berichten: 311
Re: Slingerbeweging
Bedankt!
Ja, ik zie de mist rondom me! Differentiaalvergelijkingen opstellen vind ik moeilijk. We hebben er nooit veel (fysische) oefeningen rond gemaakt. Maar ik zou dit soort vraagstukken zo graag onder de knie krijgen.... zal er een nachtje over slapen en morgen eens herbeginnen. Gewoon om jouw antwoord zelf eens proberen te vinden...
Misschien kan 'Maple 11' het oplossen?
Dankjewel om eens te roepen in die mist!
Nu weet ik ongeveer welke richting te lopen..
Victor
Ja, ik zie de mist rondom me! Differentiaalvergelijkingen opstellen vind ik moeilijk. We hebben er nooit veel (fysische) oefeningen rond gemaakt. Maar ik zou dit soort vraagstukken zo graag onder de knie krijgen.... zal er een nachtje over slapen en morgen eens herbeginnen. Gewoon om jouw antwoord zelf eens proberen te vinden...
Misschien kan 'Maple 11' het oplossen?
Dankjewel om eens te roepen in die mist!
Nu weet ik ongeveer welke richting te lopen..
Victor
Only an optimist can see the nature of suffering
- Moderator
- Berichten: 51.265
Re: Slingerbeweging
Nee. Maar zelfs in excel kun je het benaderen.Misschien kan 'Maple 11' het oplossen?
ALS WIJ JE GEHOLPEN HEBBEN...
help ons dan eiwitten vouwen, en help mee ziekten als kanker en zo te bestrijden in de vrije tijd van je chip...
http://www.wetenscha...showtopic=59270
help ons dan eiwitten vouwen, en help mee ziekten als kanker en zo te bestrijden in de vrije tijd van je chip...
http://www.wetenscha...showtopic=59270
- Berichten: 7.556
Re: Slingerbeweging
Graag gedaanBedankt!
Op zich is de algemene aanpak vrij eenvoudig: vind de nettokracht op het deeltje, en stel het dan - via de wet van Newton - gelijk aan m*a. Het handigste is om deze vectorvergelijking - kracht en versnelling zijn vectoren - om te zetten in scalaire vergelijkingen: één vergelijking per component.Differentiaalvergelijkingen opstellen vind ik moeilijk. We hebben er nooit veel (fysische) oefeningen rond gemaakt. Maar ik zou dit soort vraagstukken zo graag onder de knie krijgen.... zal er een nachtje over slapen en morgen eens herbeginnen. Gewoon om jouw antwoord zelf eens proberen te vinden...
Dan heb je al direct een (differentiaal)vergelijking voor de versnelling, waaruit je de snelheid en positie kunt halen door te integreren - hetgeen niet altijd even makkelijk expliciet te doen is zoals uit dit probleem blijkt.
Never express yourself more clearly than you think.
- Niels Bohr -
- Niels Bohr -
-
- Berichten: 4.246
Re: Slingerbeweging
Hoe kom je aan de DV? En mis je niet een factor 1/r bij de 10? Of heb je expres de constantes weggelaten?Phys schreef:Aangezien het deeltje niet in de lengterichting van het touw beweegt (de spankracht zorgt daarvoor: de nettokracht in de r-richting is nul), is r constant. Dit zorgt voor een nettokracht in de phi-richting van\(F_{\phi}=mg\cos\phi=ma_\phi\).We hebben dus de differentiaalvergelijking
\(\ddot{\phi}(t)=g\cos(\phi(t))\), met randvoorwaarden
\(\phi(0)=0\)en\(\dot\phi(0)=10\)
Quitters never win and winners never quit.
- Berichten: 7.556
Re: Slingerbeweging
Tja, veel duidelijker kan ik het nietmaken vrees ik. Ik hebHoe kom je aan de DV?
\(mg\cos\phi=ma_\phi=m\ddot\phi\)
Misschien even een schets maken? Ik werk dus in poolcoodinaten, aangezien de baan die het deeltje aflegt een halve cirkel is. De eenheidsvector \(\hat\phi\)
staat loodrecht op de straal. Waar ben je het niet mee eens?1/r ? De snelheid op t=0 is 10 m/s, dat is toch gegeven? Voor zover ik weet heb ik geen constantes weggelaten. Maar ik word graag gecorrigeerdEn mis je niet een factor 1/r bij de 10? Of heb je expres de constantes weggelaten?
Never express yourself more clearly than you think.
- Niels Bohr -
- Niels Bohr -
-
- Berichten: 4.246
Re: Slingerbeweging
Phys schreef:Tja, veel duidelijker kan ik het nietmaken vrees ik. Ik heb\(mg\cos\phi=ma_\phi=m\ddot\phi\)Misschien even een schets maken? Ik werk dus in poolcoodinaten, aangezien de baan die het deeltje aflegt een halve cirkel is. De eenheidsvector\(\hat\phi\)staat loodrecht op de straal. Waar ben je het niet mee eens?
\( \sum M_o =I \ddot{ \phi} \rightarrow mgr \cos( \phi) = m r^2 \ddot { \phi } \rightarrow g \cos( \phi) = r \ddot{ \phi}\)
Zie ook hier.
1/r ? De snelheid op t=0 is 10 m/s, dat is toch gegeven? Voor zover ik weet heb ik geen constantes weggelaten. Maar ik word graag gecorrigeerd
\( \phi \)
is in rad/s en v in m/s.Quitters never win and winners never quit.
-
- Berichten: 4.246
Re: Slingerbeweging
Ter correctie\( \phi \)is in rad/s en v in m/s.
\( \dot{\phi} \)
in rad/s.Quitters never win and winners never quit.
-
- Berichten: 311
Re: Slingerbeweging
Kun je mij nog eens uitleggen...hoe de differentiaalvergelijking wordt opgesteld? Ik ben er echt niet goed in...Phys schreef:Dit zorgt voor een nettokracht in de phi-richting van\(F_{\phi}=mg\cos\phi=ma_\phi\).We hebben dus de differentiaalvergelijking
\(\ddot{\phi}(t)=g\cos(\phi(t))\), met randvoorwaarden
\(\phi(0)=0\)en\(\dot\phi(0)=10\)
Wat ik wel begrijp:
\(F_{\phi}=mg\cos\phi=ma_\phi\)
Dus alles zet je in functie van de hoek, die op zijn beurt afhankelijk is van de tijd? De versnelling vervangen door de 2de afgeleide van de hoek, en de massa geschrapt. Tenslotte leg je 2 randvoorwaarden vast, die vertellen hoe de beginsituatie is, op tijdstip 0; hoek is 0 en snelheid is 10.Klopt deze werkwijze? Misschien begin ik het te snappen...maar, is er nu nog iets fout met de straal opdat de tweede afgeleide de versnelling zou opleveren? Maakt dirkwb gebruik van de kleine-hoeken-benadering door te stellen dat de hoek vermenigvuldigd met de straal gelijk is aan de afgelegde weg op de cirkelbaan?
Only an optimist can see the nature of suffering
- Berichten: 7.556
Re: Slingerbeweging
I stand corrected. Bedankt, dirkwb! En excuses aan Victor voor de veroorzaakte verwarring, geen wonder dat je mijn methode niet begrijpt: ze klopt niet! De fout in mijn uitwerking zat hem hierin: ik stelde
Ik denk dat de link van dirkwb alles uitlegt. Lees die maar eens door, daar staat een uitgebreide uitwerking (op verschillende manieren).
Ik dacht nog: zal ik eens kijken wat eruit komt met Langrange-Hamilton, dat had ik dus moeten doen. Voor de geïnteresseerden:
\(a_\phi=\ddot{\phi}\)
. Ik had echter de versnelling in poolcoordinaten moeten uitschrijven: \(a_\phi=R\ddot{\phi}+2\dot{R}\dot{\phi}\)
, en bij constante straal - zoals hier - krijg je dus \(a_\phi=R\ddot{\phi}\)
. Dat scheelt een factor R, en dat is precies de factor die ik miste.Ik denk dat de link van dirkwb alles uitlegt. Lees die maar eens door, daar staat een uitgebreide uitwerking (op verschillende manieren).
Ik dacht nog: zal ik eens kijken wat eruit komt met Langrange-Hamilton, dat had ik dus moeten doen. Voor de geïnteresseerden:
Verborgen inhoud
Never express yourself more clearly than you think.
- Niels Bohr -
- Niels Bohr -