Springen naar inhoud

Niet triviale oplossingen, homogeen stelsel


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Miasma

    Miasma


  • 0 - 25 berichten
  • 9 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 21 september 2008 - 21:36

Ik heb een vraag over niet triviale oplossingen van een homogeen stelsel, wanneer er meer onbekenden m zijn dan vergelijkingen n. (ik hoop dat dat in correct wiskunde is gezegd) Er is geleerd dat je door middel van substituering een oplossing kunt vinden, en deze zijn betrekkelijk makkelijk in te zien wanneer ze in de vorm van het volgende voorbeeld verschijnen:

matrix A =

1 0 -3 2
0 1 2 7
0 0 0 0

x1 = 3 - 2
x2 = -2 - 7

Dit kan ik nog wel begrijpen, maar ik vind het lastig dit idee te gebruiken wanneer ik eigenvectoren wil vinden uit de matrices:

Matrix B

0 -2 1
-1 1 -1
-4 4 -4

of

Matrix C

-13 -6
18 8

Dit kan ik vereenvoudigen tot ik een eenheidsmatrix krijg, maar dit is kennelijk niet de bedoeling wanneer je eigenvectoren wilt vinden. Kan iemand mij rustig stap voor stap uitleggen hoe ik hier moet substitueren met een constante?

Alvast vele dank

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 22 september 2008 - 09:36

Hey,

Als ik je probleem goed begrijp, moet je weten hoe je eigenwaardes en/of -vectoren berekent, klopt?

Vooreerst moet je weten, dat om je eigenwaardes te berekenen in het algemeen geldt: LaTeX , met I de eenheidsvector met dezelfde dimensie als je A, en LaTeX de eigenwaardes die je wilt vinden.

Ik zal de formule toepassen op jouw matrix B:
LaTeX
|0   -2   1	 1   0   0|		| -L   -2	 1|
|-1   1  -1   - 	 0   1   0|*L  = 0 ==> |-1   1-L   -1|  = 0  (L is lambda)
|-4   4  -4		 0   0   1|		|-4	 4  -4-L|

Nu reken je deze derdegraadsvgl uit en vind je ofwel 1 tot 3 verschillende reele waardes voor LaTeX , ofwel vind je complexe opl en ik denk dat je hier dan mag stoppen (in theorie mag je nog doorgaan dan, maar ik weet niet of je dat gezien hebt). Om nu je eigenvectoren te bepalen moet je je eigenwaardes invullen in de matrix:
(-L	-2	 1		 0)
(-1   1-L	-1	0)
 (-4   4	-4-L	 0)

STEL nu dat er één rij 0 wordt, dan krijg je een opl vd vorm: E0 (=eigenruimte) = {k(a,b,c)|LaTeX }, je eigenvector vind je dan door voor k eender wat buiten 0 in te vullen (je kiest iets wat een mooie vector geeft zonder breuken bijv...

Hopelijk heb je hier iets aan :P

EDIT: die codetags zijn één dikke nest, krijg ze niett mooi onder mekaar gezet, hopelijk zie je zo wat samen hoort :D

Veranderd door Phys, 22 september 2008 - 14:42
quote van het hele bericht verwijderd; overbodig wanneer je als eerste op het gehele bericht reageert

Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#3

Miasma

    Miasma


  • 0 - 25 berichten
  • 9 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 22 september 2008 - 19:30

Hallo Drieske,

Bedankt voor je antwoord. Ik had het berichtje vanmiddag gelezen en ben toen zelf aan de slag te gaan en ik begrijp het nu iets beter. Ik stuit echter wel constant tegen een probleem aan, en ik denk dat het stiekem wel te basisch en simpel voor woorden is, maar waag me er maar toch aan om het te vragen:

Stel je hebt matrix A

(2) ( -2 ) (3)
(0) (3) (-2)
(0) (-1) (2)

Het vinden van eigenwaarden is niet zo'n punt: 1, 2 en 4. Vervolgens ga je op zoek naar de bijbehorende eigenvector (bij eigenwaarde = 4)
Wat ik vervolgens heb gedaan is lambda (op de hoofd diagnonaal vervangen met de eigenwaarden):

(4-2) (-2) ( 3)
(0) (4-3) (-2)
(0) (-1) (4-2)

Vervolgens krijg je:

(2) (-2) (3)
(0) (1) (-2)
(0) (-1 ) (2)

Vervolgens mijn redenatie:

Rij 1 =
2(a1) - 2(a2) + 3(a3) = 0

Rij 2=
1(a2) - 2(a3) = 0

Rij 3 =
- 1(a2) + 2(a3) = 0

Hieruit neem ik de derde kolom als constant s en volgt:
1(a2) = 2s
En bij de eerste rij wordt dit:
2(a1) - 2(a2) + 3(a3) = 0
2(a1) - 4s + 3s = 0
2(a1) = s
(a1) = s/2

Dus eigenvector =
a1 = s/2
a2 = 2s
a3 = s

s/2
2s
s

Maar dit is niet correct, volgens het boek komt er eigenvector:

7
-4
2

uit. Waar zit mijn denkfout?

Nogmaals vele dank

#4

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 22 september 2008 - 19:40

Waar zit mijn denkfout?

Nogmaals vele dank

Op de hoofddiagonaal moet resp staan: 2-4, 3-4 en 2-4, dan krijg je de matrix:
(-2) (-2) (3)
(0) (-1) (-2)
(0) (-1 ) (-2)

Ik heb het niet uitgeteld, maar wsl zal dit wel uitkomen.

Veranderd door Drieske, 22 september 2008 - 19:41

Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#5

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 22 september 2008 - 21:00

Miasma,

ik las zojuist jouw redenatie nog eens, twee kleine opm, spilmethode of Gauss-eliminatie zijn iets efficienter over het algemeen, en ten tweede, kijk eens goed naar rij 2 en 3, deze zijn identiek!!! :D
Je hebt dus slechts 1 vgl voor 3 onbekenden (je weet hoe dit op te lossen?).
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#6

Miasma

    Miasma


  • 0 - 25 berichten
  • 9 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 22 september 2008 - 22:07

Ik heb zojuist wat geprobeerd maar ik kom niet echt in de buurt van de eigenvector

7
-4
2
:D
Bah, ik haat het om naar een antwoord toe te moeten werken :P

#7

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 22 september 2008 - 22:11

Ik heb zojuist wat geprobeerd maar ik kom niet echt in de buurt van de eigenvector

7
-4
2
:P
Bah, ik haat het om naar een antwoord toe te moeten werken :P

Hmm, ikke met die eigenwaarde ook niet echt, die eigenvector hoort toch bij die eigenwaarde?
Morgen wil ik je terug wat uitgebreider verderhelpen (stap vr stap uitwerken en zien wat het geeft)(én met als je wil stuk of 10 extra opgaves uit mijn cursus :P ), maar nu heb ik jmmr genoeg eventjes er de tijd niet voor :D
Succes nog!!!
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#8

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 23 september 2008 - 01:07

(-2) (-2) (3)
(0) (-1) (-2)
(0) (-1 ) (-2)

Uit de tweede rij volgt y = -2z en uit de eerste rij 2x = -2y+3z.
Stel z = t, dan is y = -2t en 2x = -2(-2t)+3t = 7t, dus eigenvector (7,-4,2).
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#9

Miasma

    Miasma


  • 0 - 25 berichten
  • 9 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 23 september 2008 - 11:31

Ik heb er het even laten bezinken en zojuist opnieuw geprobeerd, en kwam ditmaal wel tot het juiste antwoord. Bedankt! :D

#10

Miasma

    Miasma


  • 0 - 25 berichten
  • 9 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 23 september 2008 - 15:36

Ik zit nog even met een vraag:

Wat nu als je het volgende hebt

(0) (-2) (3)
(0) (-1) (-2)
(0) (-1 ) (-2)

(lettend op de 1e kolom)
Geef je de 1e kolom dan een constante aan en reken je zo de andere waarden?

Of

(-2) (0) (0)
(1) (-1) (-2)
(0) (-1 ) (-2)

(lettend op de 1e rij)

Bedankt,

#11

dirkwb

    dirkwb


  • >1k berichten
  • 4172 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 23 september 2008 - 15:39

Ik zie niet wat je aan het doen bent: eigenwaarden uitrekenen of vegen?

Veranderd door dirkwb, 23 september 2008 - 15:40

Quitters never win and winners never quit.

#12

Miasma

    Miasma


  • 0 - 25 berichten
  • 9 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 23 september 2008 - 18:02

In de eerste plaats ben ik eigenwaarden aan het berekenen, maar ik merk dat ik bij het laatste stukje vaak vastloop dus ben aan daarmee aan het oefenen en voorbeelden die in het boek staan te snappen

#13

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 23 september 2008 - 18:22

Bedoel je dan dat je vastloopt met het berekenen van de eigenvector? Dus bij het "vegen" zoals dirkwb reeds zei?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#14

Miasma

    Miasma


  • 0 - 25 berichten
  • 9 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 23 september 2008 - 19:29

Wel, ja. Ik heb je tip gebruikt en vandaag heb ik geprobeerd om niet volledig Gauss-Jordan te vegen, want dan krijg je de eigenvector er niet uit, maar Gauss vegen. En dat hielp wel, ik kon het meerendeel van de sommen waar ik voorheen vast zat nu wel makkelijker oplossen, maar stuit nog op die 2 dingetjes aan.

Sorry voor de verwarring, ik ben de laatste tijd zo veel met lineaire algebra bezig dat ik er niet meer goed over na denk wat ik van jullie vraag :D





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures