[wiskunde] reeksen (2)

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Reageer

Bericht 22-09-'08, 19:35

Klintersaas

Berichten: 8.614

[wiskunde] reeksen (2)

Deze topic staat in verband met mijn eerdere topic over reeksen. Omdat het hier echter voornamelijk om een limiet gaat en om oude koeien niet uit de gracht te halen heb ik een nieuwe topic geopend.

Ik heb bepaald dat de formule voor de partiële som van een gegeven reeks
\(\log\left(\sqrt{\frac{1}{(n+1) \cdot (n + 2)}}\right)\)
is. Om vervolgens de convergentie te onderzoeken dien ik de volgende limiet te bepalen:
\(\lim_{n \to +\infty} \log\left(\sqrt{\frac{1}{(n+1) \cdot (n + 2)}}\right)\)
De leerkracht is echter weer eens te enthousiast geweest, aangezien logaritmen en hun eigenschappen pas later op het jaar worden behandeld. Bijgevolg heb ik geen flauw idee hoe ik deze limiet zou moeten bepalen. Kan iemand mij op weg helpen a.u.b.?

PS: Uiteraard kom ik graag zelf tot de definitieve uitkomst, dus een volledige uitwerking voorschotelen hoeft (en mag volgens de regels) niet.
Geloof niet alles wat je leest.


Heb jij verstand van PHP? Word Technicus en help mee om Wetenschapsforum nog beter te maken!
Omhoog

Bericht 22-09-'08, 19:38

Drieske

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: [wiskunde] reeksen (2)

Klintersaas schreef:Deze topic staat in verband met mijn eerdere topic over reeksen. Omdat het hier echter voornamelijk om een limiet gaat en om oude koeien niet uit de gracht te halen heb ik een nieuwe topic geopend.

Ik heb bepaald dat de formule voor de partiële som van een gegeven reeks
\(\log\left(\sqrt{\frac{1}{(n+1) \cdot (n + 2)}}\right)\)
is. Om vervolgens de convergentie te onderzoeken dien ik de volgende limiet te bepalen:
\(\lim_{n \to +\infty} \log\left(\sqrt{\frac{1}{(n+1) \cdot (n + 2)}}\right)\)
De leerkracht is echter weer eens te enthousiast geweest, aangezien logaritmen en hun eigenschappen pas later op het jaar worden behandeld. Bijgevolg heb ik geen flauw idee hoe ik deze limiet zou moeten bepalen. Kan iemand mij op weg helpen a.u.b.?

PS: Uiteraard kom ik graag zelf tot de definitieve uitkomst, dus een volledige uitwerking voorschotelen hoeft (en mag volgens de regels) niet.
Gewoon invullen zou ik zeggen.

Teken eens de logaritmische functie, en kijk hoe deze zich gedraagt in de buurt van 0 :P

In bijlage vind je een ruwe schets, en ruw=ruw :D
Bijlagen
log.jpg
log.jpg (4.34 KiB) 253 keer bekeken
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
Omhoog

Bericht 22-09-'08, 19:47

dirkwb

Berichten: 4.246

Re: [wiskunde] reeksen (2)

Uit (n+1)*(n+2) 'overleeft' alleen de n2-term. De wortel daarvan is 1/n en voor n richting oneindig gaat deze naar nul. De log daarvan gaat richting....
Quitters never win and winners never quit.
Omhoog

Bericht 22-09-'08, 19:56

Klintersaas

Berichten: 8.614

Re: [wiskunde] reeksen (2)

Gewoon invullen zou ik zeggen.
Dat ik daar niet aan gedacht heb. Ik weet namelijk wel dat
\(\log(0)\)
niet gedefinieerd is, dus de limiet nadert naar
\(- \infty\)
en bijgevolg is de reeks divergent.

Bedankt!
Geloof niet alles wat je leest.


Heb jij verstand van PHP? Word Technicus en help mee om Wetenschapsforum nog beter te maken!
Omhoog

Bericht 22-09-'08, 19:57

dirkwb

Berichten: 4.246

Re: [wiskunde] reeksen (2)

'Gewoon invullen' werkt niet altijd bij limieten!
Quitters never win and winners never quit.
Omhoog

Bericht 22-09-'08, 19:59

Klintersaas

Berichten: 8.614

Re: [wiskunde] reeksen (2)

'Gewoon invullen' werkt niet altijd bij limieten!
Dat weet ik zeer zeker, maar in dit geval ging het blijkbaar wel, aangezien je geen onbepaaldheid krijgt.
Geloof niet alles wat je leest.


Heb jij verstand van PHP? Word Technicus en help mee om Wetenschapsforum nog beter te maken!
Omhoog

Bericht 22-09-'08, 20:02

dirkwb

Berichten: 4.246

Re: [wiskunde] reeksen (2)

Dat weet ik zeer zeker, maar in dit geval ging het blijkbaar wel, aangezien je geen onbepaaldheid krijgt.
Eent tijdje geleden knoeide ik hier ook mee :D
Quitters never win and winners never quit.
Omhoog

Bericht 22-09-'08, 20:10

Klintersaas

Berichten: 8.614

Re: [wiskunde] reeksen (2)

Eent tijdje geleden knoeide ik hier ook mee :D
Die zien er leuk uit. Even zonder naar de rest van de topic te kijken: bij de laatste twee moet je waarschijnlijk vermenigvuldigen met de toegevoegde uitdrukking.

PS: Verderop in de oefeningenreeks over reeksen (alweer een flauwe woordspeling) komt er nog één met wortels voor. Die wil ik wel plaatsen voor de liefhebbers als ik even de tijd heb.
Geloof niet alles wat je leest.


Heb jij verstand van PHP? Word Technicus en help mee om Wetenschapsforum nog beter te maken!
Omhoog

Bericht 22-09-'08, 20:40

TD

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: [wiskunde] reeksen (2)

"Gewoon invullen" werkt (strikt genomen) met oneindig nooit, dus ook hier niet.

Je kan je enkel baseren op het gedrag van een logaritme rond 0, meer precies:
\(\mathop {\lim }\limits_{\mathop {x \to 0}\limits_ > } \log x = - \infty \)
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Omhoog

Bericht 22-09-'08, 20:42

dirkwb

Berichten: 4.246

Re: [wiskunde] reeksen (2)

Betekent dat vishaakje van rechts benaderende?
Quitters never win and winners never quit.
Omhoog

Bericht 22-09-'08, 20:46

Drieske

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: [wiskunde] reeksen (2)

@TD: "gewoon invullen" werkt idd niet vaak, maar ik probeer toch altijd eens of er iets zinnigs uitkomt om overbodig ingewikkeld denkwerk te besparen :P

@klintersaas: ben wel geinteresseerd in de reeksen/limieten die je bedoelt :D In een nieuw topic of hier, ik hou het wel in de gaten :P
Betekent dat vishaakje van rechts benaderende?
Betekent dat je enkel voor waardes groter dan 0, maar toch "kort bij" 0, bekijkt
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
Omhoog

Bericht 22-09-'08, 20:53

TD

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: [wiskunde] reeksen (2)

Betekent dat vishaakje van rechts benaderende?
Inderdaad: de rechterlimiet, ook wel genoteerd als:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0 + } \quad \mbox{of} \quad \mathop {\lim }\limits_{x \to 0 ^ + } \)
Het vishaakje is gewoon "groter dan" hoor, dus te lezen als de limiet met "x>0" en x naar 0.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Omhoog

Bericht 22-09-'08, 21:01

Klintersaas

Berichten: 8.614

Re: [wiskunde] reeksen (2)

Betekent dat vishaakje van rechts benaderende?
Dat wordt ook wel eens de rechterlimiet genoemd.
@klintersaas: ben wel geinteresseerd in de reeksen/limieten die je bedoelt :P In een nieuw topic of hier, ik hou het wel in de gaten :D
Laat ik ze hier maar plaatsen. De opgave is:

Stel een formule op voor de partiële som
\(s_n\)
van de volgende reeksen.

Onderzoek het convergentiegedrag van de reeksen.

Als de reeksen convergeren, geef dan de som.

(...)

9)
\(\frac{1}{\sqrt{2} + 1} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} + \frac{1}{2 + \sqrt{3}} + \cdots + \frac{1}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}} + \cdots\)
[/i]

En voor de liefhebbers van goniometrie:

10)
\(\sin\frac{1}{2} \sin\frac{3}{2}\ +\ \sin\frac{1}{6} \sin\frac{5}{6}\ +\ \sin\frac{1}{12} \sin\frac{7}{12}\ +\ \cdots\ +\ \sin\frac{1}{n \cdot (n + 1)} \sin\frac{2n + 1}{n \cdot (n + 1)}\ +\ \cdots\)
[/i]
Geloof niet alles wat je leest.


Heb jij verstand van PHP? Word Technicus en help mee om Wetenschapsforum nog beter te maken!
Omhoog

Bericht 22-09-'08, 21:06

dirkwb

Berichten: 4.246

Re: [wiskunde] reeksen (2)

9)
\(\frac{1}{\sqrt{2} + 1} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} + \frac{1}{2 + \sqrt{3}} + \cdots + \frac{1}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}} + \cdots\)
Divergeert, want de ne term is
\( \sqrt{n+1}-\sqrt{n} \)
Quitters never win and winners never quit.
Omhoog

Bericht 22-09-'08, 21:07

Klintersaas

Berichten: 8.614

Re: [wiskunde] reeksen (2)

Inderdaad.
Geloof niet alles wat je leest.


Heb jij verstand van PHP? Word Technicus en help mee om Wetenschapsforum nog beter te maken!
Omhoog
Reageer

Terug naar “Huiswerk en Practica”