[wiskunde] niet lineaire differentiaalvergelijkingen

Kanter

Ik heb problemen met de volgende twee sommen.

De eerste is:

x'-4x²=36 met x(0)=10

door de variabelen te scheiden en vervolgens uit elkaar te halen krijg ik:

(1/4)(1/6i)((1/(x+3i))-(1/(x-3i)))dx=dt

Deze kan ik wel oplossen, maar dan krijg ik er een extreem lange functie uit terwijl ik vermoed dat dit eenvoudiger kan.

De tweede is:

x*x'-5x=25 met x(0)=4

hier blijf ik steken op:

(x/5)(1/(5+x))dx=dt

Ik ben niet goed op de hoogte van veel reken regels dus ik wete dat ik bij beide opgave iets over het hoofd zie, ik heb alleen geen flauw idee wat. Kan iemand mij helpen.

Phys

Kanter schreef:Ik heb problemen met de volgende twee sommen.

De eerste is:

x'-4x²=36 met x(0)=10

door de variabelen te scheiden en vervolgens uit elkaar te halen krijg ik:

(1/4)(1/6i)((1/(x+3i))-(1/(x-3i)))dx=dt

Deze kan ik wel oplossen, maar dan krijg ik er een extreem lange functie uit terwijl ik vermoed dat dit eenvoudiger kan.

Wat doe je daar?

\(\frac{dx}{dt}=36+4x^2\)

dus

\(dt=\frac{dx}{36+4x^2}\)

Het komt er dus op neer om op te lossen:

\(\int \frac{dx}{36+4x^2}=\frac{1}{4}\int\frac{dx}{9+x^2}\)

Hier moet je aan een bekende functie denken...

TD

Verplaatst naar huiswerk.

Kanter

Daar ben ik voorbij gekomen en heb ik nog even gekeken of ik die kon integreren naar een functie van \( \arctan x \)

Maar hier ben ik niet uit gekomen.

Rov

Haal de 9 in de noemer buiten de haken. Gebruik dan de substitutie

\(\frac{x}{\sqrt{9}} = u\)

. Van daar kan je naar een arctan. Let op de constante die erbij komt door de 9 buiten de haakjes te halen en de substitutie, die kan je vereenvoudigen.

Kanter

Ik weet dat ik iets logisch mis, maar ik kom er niet achter. Ik weet dat het antwoord \(\frac{1}{sqrt{9}}\arctan{\frac{x}{sqrt{9}}}\) is, maar ik snap op 1 of ander manier niet **** je die 9 eruit haalt.

oh, en ben ik heel verkeerd bezig als die 1/9 moet zijn:1/4?

Rov

Ja, die 1/9 moet 1/4 zijn in Phys zijn post.

\(\frac{1}{9 + x^2} = \frac{1}{9} \cdot \frac{1}{1 + \frac{x^2}{9}} = \frac{1}{9} \cdot \frac{1}{1 + \left( \frac{x^}{\sqrt{9}} \right)^2}\)

Voer dan de substitutie

\(\frac{x}{\sqrt{9}} = u\)

en

\(du = \frac{dx}{\sqrt{9}}\)

uit, dus:

\(\frac{1}{4} \int \frac{dx}{9 + x^2} = \frac{1}{4} \int \frac{1}{9} \cdot \frac{dx}{1 + \left( \frac{x^}{\sqrt{9}} \right)^2} = \frac{1}{4} \int \frac{\sqrt{9}}{9 \cdot } \frac{du}{1+u^2}\)

De eerste breuk in de integraal is gelijk aan 1/([wortel]9) en is een constante. De integraal zelf is gelijk aan arctan(u). Dan nog terugsubstitueren geeft de gevraagde oplossing.

Phys

Ja, die 1/9 moet 1/4 zijn in Phys zijn post.

Welke 1/9?

Kanter

Mag ik dan als regel gebruiken:

\( \int \frac{1}{x^2+a}dx=\frac{1}{\sqrt{a}}\arctan \frac{x}{\sqrt{a}} \)

dirkwb

Phys

Erg makkelijk zelf te controleren door het rechterlid terug te differentiëren.

\(\frac{d}{dx}\arctan(f(x))=\frac{1}{1+f(x)^2}\cdot f'(x)\)

Dus met f(x)=x/sqrt(a):

\(\frac{d}{dx}\frac{1}{\sqrt{a}}\arctan\left(\frac{x}{\sqrt a}\right)=\frac{1}{\sqrt a}\cdot\frac{1}{1+\frac{x^2}{a}}\cdot \frac{1}{\sqrt a}=\frac{1}{a}\cdot\frac{1}{1+\frac{x^2}{a}}=\frac{1}{a+x^2}\)

Kanter

Ok, ik heb hem door. Hartelijk dank

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

[wiskunde] niet lineaire differentiaalvergelijkingen

[wiskunde] niet lineaire differentiaalvergelijkingen

Re: [wiskunde] niet lineaire differentiaalvergelijkingen

Re: [wiskunde] niet lineaire differentiaalvergelijkingen

Re: [wiskunde] niet lineaire differentiaalvergelijkingen

Re: [wiskunde] niet lineaire differentiaalvergelijkingen

Re: [wiskunde] niet lineaire differentiaalvergelijkingen

Re: [wiskunde] niet lineaire differentiaalvergelijkingen

Re: [wiskunde] niet lineaire differentiaalvergelijkingen

Re: [wiskunde] niet lineaire differentiaalvergelijkingen

Re: [wiskunde] niet lineaire differentiaalvergelijkingen

Re: [wiskunde] niet lineaire differentiaalvergelijkingen

Re: [wiskunde] niet lineaire differentiaalvergelijkingen