Springen naar inhoud

[wiskunde] reeksen (3)


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Klintersaas

    Klintersaas


  • >5k berichten
  • 8614 berichten
  • VIP

Geplaatst op 03 oktober 2008 - 15:56

Opnieuw een vraagje over reeksen. De opgave waar het deze keer om gaat is de volgende:

Onderzoek het convergentiegedrag van de volgende reeksen die alle tot een bekend type behoren.

(...)

4) LaTeX

5) LaTeX


Met 'die alle tot een bekend type behoren' wordt bedoeld dat de reeksen op een bepaalde manier in verband staan met een rekenkundige, meetkundige of harmonische reeks, waarvan bekend is in welke gevallen ze convergeren en divergeren. Nu herken ik in de bovenstaande reeksen de harmonische reeks (die divergeert), maar ik zie meteen hoe ik die eruit kan halen om de convergentie te onderzoeken.

Wat ik bedoel met 'eruit halen' zal ik laten zien a.d.h.v. een voorbeeld:

De reeks LaTeX ontstaat door elke term van de harmonische reeks te vermenigvuldigen met LaTeX . Aangezien het convergentiegedrag van een reeks niet beÔnvloed wordt als men elke term ervan vermenigvuldigt met een zelfde van nul verschillende factor, kunnen we zeggen dat de reeks LaTeX divergeert. De harmonische reeks divergeert namelijk ook.

Zoiets kan ik dus niet onmiddellijk besluiten uit de gekregen opgave, alhoewel ik intuÔtief wel aanvoel dat beide reeksen divergeren. Kan iemand mij een kleine tip geven a.u.b.?

Geloof niet alles wat je leest.

Heb jij verstand van PHP? Word Technicus en help mee om Wetenschapsforum nog beter te maken!


Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 03 oktober 2008 - 17:26

Weet niet of je deze al gezien hebt, maar al eens geprobeerd om de "convergentietest van d'alembert" te gebruiken? :D
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#3

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 03 oktober 2008 - 18:15

Heb je de vergelijkingstest al gezien? Twee reeksen gevormd uit de rijen u(n) en v(n) hebben hetzelfde convergentiegedrag als de limiet van u(n)/v(n) bestaat en van 0 verschilt. Gebruik de gegeven rij samen met de harmonische rij.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#4

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 03 oktober 2008 - 18:38

Weet niet of dat op hetzelfde neerkomt, mar ik heb vgltest gezien als: als |x(n)|<|y(n)| en LaTeX convergeert, dan zal LaTeX absoluut convergeren

Veranderd door Drieske, 03 oktober 2008 - 18:40

Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#5

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 03 oktober 2008 - 18:41

Dat staat ook wel gekend als de vergelijkingstest, wat ik gaf dan soms als de "limiet vergelijkingstest".
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#6

Klintersaas

    Klintersaas


  • >5k berichten
  • 8614 berichten
  • VIP

Geplaatst op 04 oktober 2008 - 17:09

Bedankt voor de tips, maar deze methoden hebben we nog niet behandeld. Ik denk dus niet dat het de bedoeling is dat ik ze gebruik.

Geloof niet alles wat je leest.

Heb jij verstand van PHP? Word Technicus en help mee om Wetenschapsforum nog beter te maken!


#7

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 04 oktober 2008 - 17:13

Maar het is wel de bedoeling dat je deze opgaven al kan oplossen, of niet?
Wat heb je wel al gezien om te kunnen vergelijken met andere (gekende) reeksen?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#8

Klintersaas

    Klintersaas


  • >5k berichten
  • 8614 berichten
  • VIP

Geplaatst op 04 oktober 2008 - 17:51

Maar het is wel de bedoeling dat je deze opgaven al kan oplossen, of niet?

Inderdaad.

Wat heb je wel al gezien om te kunnen vergelijken met andere (gekende) reeksen?

We hebben aangetoond dat rekenkundige reeksen divergeren (behalve als LaTeX en LaTeX ), dat meetkundige reeksen enkel convergeren als LaTeX of als LaTeX en LaTeX en dat de meetkundige reeks divergeert. Verder hebben we de volgende stellingen gezien:
  • Het convergentiegedrag van een reeks wordt niet beÔnvloed als men een eindig aantal termen weglaat of toevoegt;
  • Het convergentiegedrag van een reeks wordt niet beÔnvloed als men elke term ervan vermenigvuldigt met een zelfde van nul verschillende factor;
  • Als men de overeenkomstige termen van twee convergente reeksen optelt dan vindt men de termen van een derde reeks die ook convergeert.

Geloof niet alles wat je leest.

Heb jij verstand van PHP? Word Technicus en help mee om Wetenschapsforum nog beter te maken!


#9

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 04 oktober 2008 - 18:37

en dat de meetkundige reeks divergeert.

Hier bedoel je waarschijnlijk de harmonische.

De gegeven reeksen kunnen niet uit de drie gekende types gehaald worden door enkel weglating/toevoeging van termen of vermenigvuldiging met een niet-nulle factor. Zoals je zelf al doorhad is er wel verband met de harmonische reeks, maar als je daar nog niet (termsgewijs, of via een limiet) mee kan/mag vergelijken, ben je daar denk ik niet veel mee.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#10

Klintersaas

    Klintersaas


  • >5k berichten
  • 8614 berichten
  • VIP

Geplaatst op 04 oktober 2008 - 19:37

Hier bedoel je waarschijnlijk de harmonische.

Inderdaad.

De gegeven reeksen kunnen niet uit de drie gekende types gehaald worden door enkel weglating/toevoeging van termen of vermenigvuldiging met een niet-nulle factor. Zoals je zelf al doorhad is er wel verband met de harmonische reeks, maar als je daar nog niet (termsgewijs, of via een limiet) mee kan/mag vergelijken, ben je daar denk ik niet veel mee.

Tja, dan blijven deze opgaven waarschijnlijk onoplosbaar voor mij. Jammer.

Geloof niet alles wat je leest.

Heb jij verstand van PHP? Word Technicus en help mee om Wetenschapsforum nog beter te maken!


#11

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 04 oktober 2008 - 19:44

Misschien dat je dit (intuÔtief) wel mag gebruiken, formeel klopt het immers ook.

Voor elke n>1 is sqrt(n)<n dus 1/n<1/sqrt(n). Elke term uit de rij met termen 1/sqrt(n) is bijgevolg groter dan de overeenstemmende termen uit de harmonische rij; en dus is de reeks divergent.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#12

Klintersaas

    Klintersaas


  • >5k berichten
  • 8614 berichten
  • VIP

Geplaatst op 04 oktober 2008 - 19:59

Zo had ik het ook al in potlood op een kladblaadje staan, maar ik wist niet of deze gevolgtrekking wel volledig volgens de regels was (m.a.w. ik hoopte dat ik een geziene stelling kon toepassen). Bedankt.

Geloof niet alles wat je leest.

Heb jij verstand van PHP? Word Technicus en help mee om Wetenschapsforum nog beter te maken!


#13

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 04 oktober 2008 - 20:04

Voor positieve reeksen is dit geldig.

Een andere manier om het in te zien is als volgt:

LaTeX

Hiermee toon je dat de partieelsommen duidelijk divergeren.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures