Onderzoek het convergentiegedrag van de volgende reeksen die alle tot een bekend type behoren.
(...)
4)
\(1 + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \cdots + \frac{1}{\sqrt{n}} + \cdots \)
5) \(1 + \frac{2}{\sqrt[10]{2^{15}}} + \frac{3}{\sqrt[10]{3^{15}}} + \cdots + \frac{n}{\sqrt[10]{n^{15}}} + \cdots\)
[/i]Met 'die alle tot een bekend type behoren' wordt bedoeld dat de reeksen op een bepaalde manier in verband staan met een rekenkundige, meetkundige of harmonische reeks, waarvan bekend is in welke gevallen ze convergeren en divergeren. Nu herken ik in de bovenstaande reeksen de harmonische reeks (die divergeert), maar ik zie meteen hoe ik die eruit kan halen om de convergentie te onderzoeken.
Wat ik bedoel met 'eruit halen' zal ik laten zien a.d.h.v. een voorbeeld:
De reeks
\(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{6} + \cdots + \frac{1}{2n} + \cdots \)
ontstaat door elke term van de harmonische reeks te vermenigvuldigen met \(\frac{1}{2}\)
. Aangezien het convergentiegedrag van een reeks niet beïnvloed wordt als men elke term ervan vermenigvuldigt met een zelfde van nul verschillende factor, kunnen we zeggen dat de reeks \(\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{2k}\)
divergeert. De harmonische reeks divergeert namelijk ook.Zoiets kan ik dus niet onmiddellijk besluiten uit de gekregen opgave, alhoewel ik intuïtief wel aanvoel dat beide reeksen divergeren. Kan iemand mij een kleine tip geven a.u.b.?
