Bepaal in
\(\cc\)
de vierdemachtswortels uit 16.[/i]De zuiver reële waarden 2 en -2 zijn uiteraard eenvoudig uit het hoofd te bepalen, maar om de andere twee te vinden moet ik iets meer inventiviteit aan de dag leggen. Om de vierdemachtswortels in
\(\cc\)
uit 16 te bepalen, dien ik op zoek te gaan naar een complex getal \(z = (x + yi)\)
zodat \(z^4 = 16\)
. Wanneer ik dit uitschrijf, krijg ik het volgende:\((x + yi)^4 = 16\)
\(\Leftrightarrow\)
\(x^4 + 4x^3yi + 6x^2y^2i^2 + 4xy^3i^3 + y^4 = 16\)
\(\Leftrightarrow\)
\(x^4 + 4x^3yi - 6x^2y^2 - 4xy^3i + y^4 = 16\)
\(\Leftrightarrow\)
\((x^4 - 6x^2y^2 + y^4) + (4x^3y - 4xy^3)i = 16\)
\((x^4 - 6x^2y^2 + y^4)\)
komt overeen met het reële gedeelte, \((4x^3y - 4xy^3)\)
met het imaginaire gedeelte, dus dit valt te schrijven in de vorm van het volgende stelsel:\(\left\{\begin{array}{lll}x^4 - 6x^2y^2 + y^4 = 16 \\4x^3y - 4xy^3 = 0\end{array}\)
Uitwerken levert:\(\left\{\begin{array}{lll}x^4 - 6x^2y^2 + y^4 = 16 \\4x^3y - 4xy^3 = 0\end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{lll}x^4 - 6x^2y^2 + y^4 = 16 \\4x^3y = 4xy^3\end{array}\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{lll}x^4 - 6x^2y^2 + y^4 = 16 \\x^2 = y^2\end{array}\)
Hieruit weet ik dus dat \(x = y\)
of \(-x = y\)
en bijgevolg kan ik gaan substitueren:\(\begin{array}{lcl}\left\{\begin{array}{lll}x^4 - 6x^2x^2 + x^4 = 16 \\x = y\end{array} & \mbox{of} & \left\{\begin{array}{lll}x^4 - 6x^2(-x)^2 + (-x)^4 = 16 \\-x = y\end{array} \\&& \\& \Leftrightarrow & \\&& \\\left\{\begin{array}{lll}-4x^4 = 16 \\x = y\end{array} & \mbox{of} & \left\{\begin{array}{lll}-4x^4 = 16 \\-x = y\end{array} \\&& \\& \Leftrightarrow & \\&& \\\left\{\begin{array}{lll}x^4 = -4 \\x = y\end{array} & \mbox{of} & \left\{\begin{array}{lll}x^4 = -4 \\-x = y\end{array}\end{array}\)
Beide stelsels leiden tot \(x^4 = -4\)
. x is een reëel getal en aangezien in \(\rr\)
de vierdemachtswortel uit een strikt negatief getal (zoals -4) niet gedefinieerd is, kan ik niet verder.Ik heb ongetwijfeld een rekenfoutje gemaakt waardoor ik ergens een toestandsteken ben kwijtgespeeld of er zit een fout in mijn redenering. Na driemaal hermaken van de opgave heb ik die fout echter nog steeds niet ontdekt. Ik hoop dat iemand mij verder kan helpen.
Alvast bedankt.
. Dit doe je niet zonder gevolgen.
2i.
