[wiskunde] verzamelingen bewijzen controleren

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Reageer
Gebruikersavatar
Berichten: 577

[wiskunde] verzamelingen bewijzen controleren

Hallo,

ik heb geen antwoordenboekje of iets dergelijks en naar mijn mening klopt het wel, maar ik zou toch graag de mening van wat gevorderde personen willen hebben over een huiswerkopgave waarbij ik het onderwerp nogal lastig vind.

We hebben het over verzamelingen.

Stelling:
\(A = (A \cap B) \cup (A-B)\)
Bewijs:

Stel
\(x\in A\)
dus
\(x \in (A \cap B)\)
of
\(x \in (A-B)\)
, oftewel:
\(x \in (A \cap B) \cup (A-B)\)
. Conclusie:
\(A \subseteq (A \cap B) \cup (A-B)\)
.

Stel
\(x \in (A \cap B) \cup (A-B)\)
en stel
\( x \in (A \cap B)\)
en
\(x \notin (A-B)\)
, dus
\(x \in A\)
en
\(x \in B\)
.

Stel
\(x \in (A \cap B) \cup (A-B)\)
en stel
\( x \notin (A \cap B)\)
en
\(x \in (A-B)\)
, dus
\(x \in A\)
en
\(x \notin B\)
. Dus
\(x \in A\)
.

Conclusie:
\((A \cap B) \cup (A-B) \subseteq A\)
.

Dus totale conclusie is:
\(A = (A \cap B) \cup (A-B)\)
klopt dit?

Graag zou ik ook advies willen hoe het bijv. beter kan etc. Bedankt hiervoor =).

Met vriendelijke groeten, ntstudent
To invent something you need to see what everyone sees, do what everybody does and think that nobody has though of.

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: [wiskunde] verzamelingen bewijzen controleren

Je geeft het bewijs in twee richtingen, de ene wat korter dan de andere. Voor mij behoeft de ene richting net wat meer uitleg dan de andere om "overtuigend" te zijn. In een bewijs is het immers de bedoeling dat je de juistheid van elke stap voldoende duidelijk maakt. Een ander voorstel:

Zowel A∩B als A\B bevatten enkel (maar niet noodzakelijk alle) elementen van A, zodat (A∩B)∪(A\B)⊆A.

Neem anderzijds x∈A, dan is (1) x∉B en dus x∈A\B of (2) x∈B en dus x∈A∩B; zodat ook A⊆(A∩B)∪(A\B).
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Reageer