[calculus] bepaal kromming (probleem)

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Reageer

Bericht 07-10-'08, 17:13

ruudvanm

Berichten: 5

[calculus] bepaal kromming (probleem)

Beste mensen,

De probleemopdracht is:

Bepaal de kromming van de kromme met vergelijking:

x³ + y³ + 2x² - 4y + 3x = 0

in het punt (0,0)

De formule om de kromming te bepalen is:

K = ( |f"(x)| ) ÷ ( 1 + (f'(x))² )³/²

Omschrijven naar y=? gaat volgens mij niet.

f'(x): de eerste afgeleide is 3x² + 3y² + 4x -1

f"(x): en de tweede afgeleide is 6x + 6y + 4

( |3x² + 3y² + 4x -1| ) ÷ ( 1 + (6x + 6y + 4)² )³/²

invullen pnt (0,0)

( |3*0² + 3*0² + 4*0 -1| ) ÷ ( 1 + (6*0 + 6*0 + 4)² )³/²

( 1 ) ÷ ( 1 + 16 )³/²

mijn antwoord was dan ook:

K = ( 1 ) ÷ ( 17 )³/² (verder vereenvoudigen lukt me niet)

maar het antwoord moet zijn:

K = ( 64 ) ÷ ( 125 )

Heeft iemand tips, of ziet iemand een fout?

Graag hoor ik het van jullie :D

Alvast bedankt, Ruud
Omhoog

Bericht 07-10-'08, 17:25

TD

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: [calculus] bepaal kromming (probleem)

Omschrijven naar y=? gaat volgens mij niet.
Inderdaad, je zal moeten "impliciet differentiëren/afleiden".
ruudvanm schreef:f'(x): de eerste afgeleide is 3x² + 3y² + 4x -1

f"(x): en de tweede afgeleide is 6x + 6y + 4
Hier gaat het mis. De eerste afgeleide naar x van x³ is inderdaad 3x², maar y³ wordt dan niet zomaar 3y² - dat is als je zou afleiden naar y. Als je y (impliciet) beschouwt als functie van x, volgt wel met de kettingregel (y³)' = 3y²y'. En zo verder.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Omhoog

Bericht 08-10-'08, 20:36

ruudvanm

Berichten: 5

Re: [calculus] bepaal kromming (probleem)

Hartelijk dank voor de hulp!!

Stom dat ik was vergeten om impliciet te differentiëren...

Maar nu loop ik tegen het volgende op:

x³ + y³ + 2x² - 4y + 3x = 0 in het punt (0,0)

eerste afgeleide is:

3x² + 3y²y' + 4x - 4y' +3 = 0

3y²y' - 4y' = -3x² - 4x - 3

y'(3y² - 4) = -3x² - 4x - 3

y' = (-3x² - 4x - 3) ÷ (3y² - 4) = 3/4

Tweede afgeleide:

6x + 6yy" + 4 = 0

6yy" = -6x -4

y" = (-6x-4) ÷ (6y) = -4 ÷ 0 KN?

Ik heb geen idee hoe je tweede afgeleide impliciet moet differentiëren...
Omhoog

Bericht 08-10-'08, 20:45

TD

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: [calculus] bepaal kromming (probleem)

Dat kan door bijvoorbeeld te vertrekken van je uitdrukking voor y', dan weer (impliciet) differentiëren naar x. Voordeel: je hebt direct y'', nadeel: een breuk (impliciet) differentiëren.

Je kan ook gewoon je eerdere uitdrukking (na een keer impliciet differentiëren, maar nog niet opgelost naar y') opnieuw impliciet differentiëren. Dan vermijd je een breuk afleiden, maar wel nog oplossen naar y''.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Omhoog

Bericht 08-10-'08, 20:49

Safe

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: [calculus] bepaal kromming (probleem)

ruudvanm schreef:y' = (-3x² - 4x - 3) ÷ (3y² - 4)

Ik heb geen idee hoe je tweede afgeleide impliciet moet differentiëren...
Waarom differentiëer je dan y' (zie boven) niet nog een keer naar x?

Impliciet kan natuurlijk ook door te bedenken dat y en y' beide afhangen van x (zie boven) en dus product- en kettingregel toepassen.
Omhoog

Bericht 08-10-'08, 22:17

ruudvanm

Berichten: 5

Re: [calculus] bepaal kromming (probleem)

Inmiddels ben ik er uit, dankzij jullie snelle reacties!

Super bedankt daarvoor :D

Ik heb idd nu de breuk gedifferentiëert, en het is verder simpel invulwerk...

Nogmaals bedankt voor de reacties!
Omhoog

Bericht 08-10-'08, 22:20

TD

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: [calculus] bepaal kromming (probleem)

Graag gedaan hoor, succes verder nog!
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Omhoog

Bericht 09-10-'08, 12:08

Safe

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: [calculus] bepaal kromming (probleem)

ruudvanm schreef:eerste afgeleide is:

3x² + 3y²y' + 4x - 4y' +3 = 0
Mooi dat het gelukt is, proficiat, maar:

het zou nuttig zijn dat je jezelf controleert door bovenstaande formule nog eens naar x te differentiëren.
Omhoog

Bericht 09-10-'08, 14:33

ruudvanm

Berichten: 5

Re: [calculus] bepaal kromming (probleem)

De eerste afgeleide is:
\(3x^2 + 3y^2y' + 4x - 4y' +3 = 0\)
En de tweede afgeleide is dan:
\(6x + 6yy' + 3y^2y'' + 4 - 4y'' = 0\)
\(y''(3y^2 - 4) = -6x - 6yy' -4\)
\(y'' = \frac{-6x - 6yy' -4}{3y^2 - 4}\)
\(y'' = \frac{-4}{-4} = 1\)
\(K = \frac{y''}{(1 + (y')^2)^\frac{3}{2} }\)
invullen:
\(K = \frac{1}{(1 + (\frac{3}{4})^2)^\frac{3}{2} }\)
\(K = \frac{1}{(\frac{25}{9})^\frac{3}{2} }\)
Het vereenvoudigen naar
\(\frac{64}{125}\)
lukt me niet, maar dit antwoord klopt wel (nagerekend met rekenmachine). De docent gaf aan dat dit antwoord gewoon wordt goed gerekend..

Het was me eerst niet duidelijk hoe je y' nog moest differentiëren, nu ik dat wel weet is dit een snellere methode dan die breuk differentiëren.

Zo gaat het helemaal goedkomen met het tentamen :D
Omhoog

Bericht 09-10-'08, 16:51

TD

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: [calculus] bepaal kromming (probleem)

ruudvanm schreef:
\(K = \frac{1}{(\frac{25}{9})^\frac{3}{2} }\)
Het vereenvoudigen naar
\(\frac{64}{125}\)
lukt me niet, maar dit antwoord klopt wel (nagerekend met rekenmachine). De docent gaf aan dat dit antwoord gewoon wordt goed gerekend..
Die 9 in de noemer moet een 16 zijn, komen tot de opgegeven oplossing kan dan zo:
\(\frac{1}{{\left( {\frac{{25}}{{16}}} \right)^{\frac{3}{2}} }} = \left( {\frac{{25}}{{16}}} \right)^{ - \frac{3}{2}} = \left( {\left( {\frac{5}{4}} \right)^2 } \right)^{ - \frac{3}{2}} = \left( {\frac{5}{4}} \right)^{ - 3} = \frac{{4^3 }}{{5^3 }} = \frac{{64}}{{125}}\)
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Omhoog

Bericht 09-10-'08, 17:05

Safe

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: [calculus] bepaal kromming (probleem)

ruudvanm schreef:De eerste afgeleide is:
\(3x^2 + 3y^2y' + 4x - 4y' +3 = 0\)


En de tweede afgeleide is dan:
\(6x + 6y(y')^2 + 3y^2y'' + 4 - 4y'' = 0\)
De tweede regel is verbeterd, ga dat na.
Omhoog

Bericht 09-10-'08, 20:30

ruudvanm

Berichten: 5

Re: [calculus] bepaal kromming (probleem)

Die 9 was een tikfoutje, maar ik moet zeggen dat ik wel moeite heb met het vereenvoudigen zoals je hebt voorgedaan. Ik volg en snap het helemaal, maar waarschijnlijk heb ik nog veel oefening nodig voordat ik de som zelf snel kan vereenvoudigen.

Differentiëren van
\(3y^2y'\)
wordt:
\((3y^2)' * (y') + (3y^2) * (y')'\)
\(= 6yy' + 3y^2y''\)
Welke denkfout maak ik hier dan?
Omhoog

Bericht 09-10-'08, 20:39

Phys

Gebruikersavatar
Berichten: 7.556

Re: [calculus] bepaal kromming (probleem)

\((3y^2)'\cdot y'=6y(y')^2\)
. Met de kettingregel (functie van een functie, namelijk de functie y(x) en f(x)=3y(x)^2):
\(\frac{d}{dx}(3y(x)^2)=\frac{d}{dy}(3y(x)^2)\cdot \frac{d}{dx}(y(x))=6y\cdot y'\)
vermenigvuldigen met y' levert
\((3y^2)'\cdot y'=6y(y')^2\)
Never express yourself more clearly than you think.

- Niels Bohr -
Omhoog

Bericht 09-10-'08, 20:40

Safe

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: [calculus] bepaal kromming (probleem)

ruudvanm schreef:Die 9 was een tikfoutje, maar ik moet zeggen dat ik wel moeite heb met het vereenvoudigen zoals je hebt voorgedaan. Ik volg en snap het helemaal, maar waarschijnlijk heb ik nog veel oefening nodig voordat ik de som zelf snel kan vereenvoudigen.

Differentiëren van
\(3y^2y'\)
wordt:
\((3y^2)' * (y') + (3y^2) * (y')'\)
\(= 6yy' + 3y^2y''\)
Welke denkfout maak ik hier dan?
Je gebruikt de productregel gecombineerd met de kettingregel.

Dus: 3y²*y' wordt gedifferentiëerd naar x ... .
\(= 6yy'*... + 3y^2*y''\)
Oef: Bedenk hoe je x*sin(x) naar x differentiëert.
Omhoog
Reageer

Terug naar “Huiswerk en Practica”