Springen naar inhoud

Driehoeksongelijkheid


  • Log in om te kunnen reageren

#1

mickey_blue_eyes

    mickey_blue_eyes


  • >25 berichten
  • 59 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 07 oktober 2008 - 20:31

Ik wou me eens wagen aan het bewijs hiervan maar ik kom er niet helemaal toe misschien kunnen jullie me wel helpen:

(1) Voor alle a, b element van R: |a+b| <= |a|+|b|
(2) Voor alle x,y, z element van R is |x-y| <= |x-z| + |z-y|

Voor het bewijs van 1 zou ik als volgt starten:

Kies a, b element van R willekeurig:
Aangezien men weet dat -|a|< a < |a| en -|b| < b <|b| kan men deze beide lid aan lid optellen. Dan bekomt men
-|a|-|b| < a+b < |a|+|b|
(Maar hoe moet het dan verder?)

Voor het bewijs van (2)
Kies x,y,z willekeurig element van R:
Stel a= x-z en b= z-y (*)
Als men (*) dan invult in (1) krijgt men

|x-y| <= |a|+|b|
(hoe krijgt men x-y weg?)

Alvast bedankt voor de hulp!

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

jhnbk

    jhnbk


  • >5k berichten
  • 6905 berichten
  • VIP

Geplaatst op 07 oktober 2008 - 20:38

De eerste is niet moeilijk.
|a+b| <= |a|+|b|
a,b >0 dan gaat de vgl op
a<0 b>0 ik stel a terug positief en schrijf
|-a+b|<=a+b je hebt dan 2 gevallen -a+b<0:
a-b<=a+b !
of
-a+b<=a+b !
Het vel van de beer kunnen verkopen vraagt moeite tenzij deze dood voor je neervalt. Die kans is echter klein dus moeten we zelf moeite doen.

#3

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 07 oktober 2008 - 20:39

Ik wou me eens wagen aan het bewijs hiervan maar ik kom er niet helemaal toe misschien kunnen jullie me wel helpen:

(1) Voor alle a, b element van R: |a+b| <= |a|+|b|
(2) Voor alle x,y, z element van R is |x-y| <= |x-z| + |z-y|

Voor het bewijs van 1 zou ik als volgt starten:

Kies a, b element van R willekeurig:
Aangezien men weet dat -|a|< a < |a| en -|b| < b <|b| kan men deze beide lid aan lid optellen. Dan bekomt men
-|a|-|b| < a+b < |a|+|b|
(Maar hoe moet het dan verder?)

Nu gebruik je enkel: a+b < |a|+|b|, hier plaats je nog eens absolute waardes rond, maar omdat |a| pos is, |b| pos is en er een + tss staat, mag je die even goed weglaten :D
Dus: |a+b|<|a|+|b|

Voor 2; schrijf |x-y|=|(x-z)+(z-y)| en dan (1) hierop toepassen :P
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#4

Phys

    Phys


  • >5k berichten
  • 7556 berichten
  • VIP

Geplaatst op 07 oktober 2008 - 20:39

Zie ook hier voor een hint.
Never express yourself more clearly than you think.
- Niels Bohr -

#5

mickey_blue_eyes

    mickey_blue_eyes


  • >25 berichten
  • 59 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 07 oktober 2008 - 20:39

De eerste is niet moeilijk.
|a+b| <= |a|+|b|
a,b >0 dan gaat de vgl op
a<0 b>0 ik stel a terug positief en schrijf
|-a+b|<=a+b je hebt dan 2 gevallen -a+b<0:
a-b<=a+b !
of
-a+b<=a+b !


Ik begrijp je redenering niet echt?!

Kies a, b element van R willekeurig:
Aangezien men weet dat -|a|< a < |a| en -|b| < b <|b| kan men deze beide lid aan lid optellen. Dan bekomt men
-|a|-|b| < a+b < |a|+|b|
(klopt dit dan niet?)

#6

jhnbk

    jhnbk


  • >5k berichten
  • 6905 berichten
  • VIP

Geplaatst op 07 oktober 2008 - 20:40

Wat begrijp je dan niet?
Het vel van de beer kunnen verkopen vraagt moeite tenzij deze dood voor je neervalt. Die kans is echter klein dus moeten we zelf moeite doen.

#7

mickey_blue_eyes

    mickey_blue_eyes


  • >25 berichten
  • 59 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 07 oktober 2008 - 20:50

Nu gebruik je enkel: a+b < |a|+|b|, hier plaats je nog eens absolute waardes rond, maar omdat |a| pos is, |b| pos is en er een + tss staat, mag je die even goed weglaten :D
Dus: |a+b|<|a|+|b|

Voor 2; schrijf |x-y|=|(x-z)+(z-y)| en dan (1) hierop toepassen :P


Dus als ik goed begrijp:
bij (1) kom ik dan - (a) + (b) < a+b < (a)+(b) ( )= absolute waarde
en dan gewoon bij de middelste term absolute waardetermen maken? (a+b)

Bij 2 begrijp ik niet hoe je één kan gebruiken?


Wat begrijp je dan niet?


Ik begrijp de redenering wel... maarjah brengt gewoon niks bij aan het bewijs... das triviaal

#8

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 07 oktober 2008 - 21:01

Dus als ik goed begrijp:
bij (1) kom ik dan - (a) + (b) < a+b < (a)+(b) ( )= absolute waarde
en dan gewoon bij de middelste term absolute waardetermen maken? (a+b)

Bij 2 begrijp ik niet hoe je één kan gebruiken?

Idd, het bewijsje van (1) is dus af...

(2), je hebt alvast |x-y|=|(x-z)+(z-y)|, nu zijn (x-z) en (z-y) resp uw a en b uit (1), dus |x-y|<=|x-z|+|z-y|

Begrijp je het?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#9

mickey_blue_eyes

    mickey_blue_eyes


  • >25 berichten
  • 59 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 07 oktober 2008 - 21:04

Idd, het bewijsje van (1) is dus af...

(2), je hebt alvast |x-y|=|(x-z)+(z-y)|, nu zijn (x-z) en (z-y) resp uw a en b uit (1), dus |x-y|<=|x-z|+|z-y|

Begrijp je het?


ik zie dat x-z=a en z-y=b allé dat lijkt de logische evidentie... maar begrijp niet hoe het dan verder moet?!

*voelt zich dom worden* :D

#10

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 07 oktober 2008 - 21:27

ik zie dat x-z=a en z-y=b allé dat lijkt de logische evidentie... maar begrijp niet hoe het dan verder moet?!

*voelt zich dom worden* :D

Is nergens vr nodig, iedereen zit wel eens vast
Vervang eens letterlijk dr a en b, dan staat er: |a+b|, hier weet je van: |a+b|<|a|+|b|, nu terug vervangen geeft |x-z|+|z-y|...
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#11

mickey_blue_eyes

    mickey_blue_eyes


  • >25 berichten
  • 59 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 07 oktober 2008 - 21:34

Is nergens vr nodig, iedereen zit wel eens vast
Vervang eens letterlijk dr a en b, dan staat er: |a+b|, hier weet je van: |a+b|<|a|+|b|, nu terug vervangen geeft |x-z|+|z-y|...


x= a+z
y= z-b

dan krijg ik |a-b| <= |a| + |b|

Ok ik zie het niet echt... hoe men |a+b| krijgt? anders zou het gewoon (1) nog eens toepassen zijn niet?

#12

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 07 oktober 2008 - 21:39

x= a+z
y= z-b

dan krijg ik |a-b| <= |a| + |b|

Ok ik zie het niet echt... hoe men |a+b| krijgt? anders zou het gewoon (1) nog eens toepassen zijn niet?

Je krijgt |a+b| <= |a| + |b|, dus wel gewoon de 1ste ongelijkheid :D Kijk eens rustig nr alle stappen....
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#13

mickey_blue_eyes

    mickey_blue_eyes


  • >25 berichten
  • 59 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 07 oktober 2008 - 21:41

Je krijgt |a+b| <= |a| + |b|, dus wel gewoon de 1ste ongelijkheid :D Kijk eens rustig nr alle stappen....



komt men aan die + ? Ik bekom echt alleen die - ...

Als ik dat zou weten zou ik opnieuw (1) kunnen gebruiken en heb ik hetbewijs helemaal

#14

Phys

    Phys


  • >5k berichten
  • 7556 berichten
  • VIP

Geplaatst op 07 oktober 2008 - 21:48

Gegeven: |a+b| <= |a|+|b|
Stel a=x-z en b=z-y. Dan is a+b=x-z+z-y=x-y. Invullen van a en b levert
|x-y| <= |x-z|+|z-y| zoals gevraagd.
Never express yourself more clearly than you think.
- Niels Bohr -

#15

mickey_blue_eyes

    mickey_blue_eyes


  • >25 berichten
  • 59 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 08 oktober 2008 - 07:07

Gegeven: |a+b| <= |a|+|b|
Stel a=x-z en b=z-y. Dan is a+b=x-z+z-y=x-y. Invullen van a en b levert
|x-y| <= |x-z|+|z-y| zoals gevraagd.


Bedankt





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures