Periode massa veer systeem

maxke

Als ik me niet vergis dan kan je de periode van een massa veer systeem veranderen door ofwel een andere veer te kiezen ofwel een andere massa eraan te hangen (of beiden).

Echter ik vroeg me af waarom de periode niet verandert als je de veer vb harder indrukt voordat je ze loslaat.

Indien ik dezelfde veer en dezelfde massa neem en de ene keer de veer lichtjes indruk en de andere keer veel harder indruk dan zal de frequentie, periode toch niet dezelfde zijn bij deze 2 bewegingen? De harder ingedrukte veer zal toch veel sneller bewegen dan de andere en dus een andere periode hebben?

(er vanuit gaan dat er geen wrijving is)

Phys

Zonder wrijving geldt er, voor een lineaire veer, voor de hoekfrequentie

\(\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}\)

met m de massa en k de veerconstante. Dus inderdaad hangt de frequentie alleen af van k en m, en niet van de beginsnelheid. Bij een grotere beginsnelheid zal de amplitude weliswaar groter zijn, maar de beweging gaat ook sneller, en precies zó dat de frequentie hetzelfde is.

Je moet echter wel bedenken dat in deze formule de kleine-hoeken-aanname zit: de uitwijkingen zijn klein. Je intuïtie gaat dus niet echt op, want in de praktijk zijn de uitwijkingen redelijk groot en is er wel degelijk wrijving.

dirkwb

Zonder wrijving geldt er, voor een lineaire veer, voor de hoekfrequentie
\(\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}\)
met m de massa en k de veerconstante.

Je hebt het over de eigenfrequentie van het systeem.

Je moet echter wel bedenken dat in deze formule de kleine-hoeken-aanname zit: de uitwijkingen zijn klein.

Oh ja? Kan je dat aantonen?

maxke

Je moet echter wel bedenken dat in deze formule de kleine-hoeken-aanname zit: de uitwijkingen zijn klein. Je intuïtie gaat dus niet echt op, want in de praktijk zijn de uitwijkingen redelijk groot en is er wel degelijk wrijving.

geen idee wat je bedoelt met kleine hoeken aanname? Wat bedoel je juist met uitwijkingen? dat de veer niet naar rechts en links beweegt?

Ik snap trouwens niet waar die hoekfrequentie vandaan komt in een ideaal systeem als de veer enkel op een neer beweeegt.

Ik spreek dus echt wel over een ideaal systeem zonder wrijving en met een veer die enkel over de x- as beweegt , dus enkel recht verplaatst.

dirkwb

Er geldt voor het systeem (ik gebruik mijn signature hiervoor

)

\( m \ddot{x} =-kx \rightarrow m \ddot{x} + kx = 0 \)

Definieer de eigenfrequentie van het systeem als zijnde:

\( \omega^2 = \frac{k}{m} \)

Dan volgt:

\( \ddot{x} + \omega^2 x = 0 \rightarrow x(t)=A \cos( \omega t) + B \sin( \omega t)\)

Op t=0 is x(0) =x₀ en x'(0)=v₀ dan volgt

\(A =x_0\)

en

\( B \omega = x'(0)=v_0 \)

Phys

Je hebt het over de eigenfrequentie van het systeem.

Het is maar hoe je het wilt noemen. Er is geen andere frequentie (bijv. van een aandrijvende kracht, want die is er niet), dus er is ook maar één hoekfrequentie, en dus is het dé hoekfrequentie.

Oh ja? Kan je dat aantonen?

Ja. Ik drukte het misschien niet zo uit, maar ik bedoel dit: de wet van Hooke is per definitie geldig voor kleine uitwijkingen. Ik citeer (Analytical Mechanics, Fowles & Cassiday, p.84-86):

In general, any potential energy function can be descirbed approximately, by a polynomial function of the displacement x for displacements not too far from equilibrium:
\(V(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3...\)
Furthermore, because only differences in potential energies are relevant for the behavior of physical systems, the constant term in each of the above expressions may be taken to be zero. (...) We also argue that the linear term in the above expression must be zero. This condition follows from the fact that the first derivative of any function must vanish at its minimum, presuming that the function and its derivative are continuous, as they must be if the function is to describe the behavior of a real physical system. Thus, the approximating polynomial takes the form
\(V(x)=a_2x^2+a_3x^3...\)
(...)

So, for small displacements the potential function is purely quadratic.

(...)

The spring's restoring force is thus given by the familiar Hooke's law
\(F(x)=-\frac{dV(x)}{dx}=-(2a_2)x=-kx\)
where
\(k=2a_2\)
is the spring constant. In fact, this is how we define small displacements from equilibrium, that is, those for which Hooke's law is valid or the restoring force is linear.

(onder voorbehoud van typfouten)

Jan van de Velde

Binnen de grenzen waarbinnen de veerconstante ook inderdaad dát is (constant) hebben we toch niks met hooke's law te maken? Bij een beetje een fatsoenlijke veer geldt dat over een behoorlijk groot gebied van indrukking en uitrekking, en hoeven we toch verder niet met uitwijking rekening te houden?

Phys

Ik weet niet zo goed wat ik hierop moet antwoorden...ik heb het idee dat alle informatie in mijn citaat staat. Bovendien begrijp ik niet wat je bedoelt met 'hebben we niets met Hooke's law te maken'? Daar hebben we toch juist álles mee te maken, immers de hele afleiding/berekening steunt op F=-kx??

Jan van de Velde

mijn antwoord is ook verward en verwarrend. Scratch and start anew.

Bij een pendule hebben kracht (restoring force) en uitwijking geen lineair verband. Omdat voor geringe uitwijkingen de tangens van de maximale hoek van de slinger met de evenwichtsstand bij benadering gelijk is aan de sinus ervan, geldt echter voor kleine uitwijkingen wel een (nagenoeg) lineair verband en mag T=2

(l/g) gebruikt worden. Voor grotere uitwijkingen moet de trillingstijd ook berekend worden met een berekening analoog aan

\(V(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3...\)

. Nog is dan de luchtweerstand buiten beschouwing gelaten.

In een massa-veersysteem heeft de veerkracht altijd wél een lineair verband met de uitwijking (de veerconstante namelijk) en hoeven dergelijke proviso's als "bij kleine uitwijking" in principe niet gemaakt te worden. Dit geldt uiteraard alléén als de veerconstante ook werkelijk constant is (ideale veer). Voor veren die hiervan afwijken (of voor uitwijkingen groter dan de gebieden waarvoor voor de onderhavige veer wél een constante veerconstante heeft) zal echter geen formule kunne worden opgesteld: een en ander wordt volledig afhankelijk van (materiaal en vorm) eigenschappen van elke afzonderlijke veer.

Zo vertel ik toch geen leugens hè?

Phys

Ik denk dat bovenstaand verhaal klopt inderdaad.

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

Periode massa veer systeem

Periode massa veer systeem

Re: Periode massa veer systeem

Re: Periode massa veer systeem

Re: Periode massa veer systeem

Re: Periode massa veer systeem

Re: Periode massa veer systeem

Re: Periode massa veer systeem

Re: Periode massa veer systeem

Re: Periode massa veer systeem

Re: Periode massa veer systeem