1)
\( \lim_{n \rightarrow \infty} \left( \frac{n^n}{n!} \right) ^{1/n} \)
2)
\( \lim_{n \rightarrow \infty} \cos \left( \frac{ \pi}{ 2^2} \right) \cos \left( \frac{ \pi}{ 2^3} \right) \cdots \cos \left( \frac{ \pi}{ 2^n} \right) \)
Laatste berichten
-
00:38
Logistic equation (Pierre Verhulst,Belgian Mathematician) 5
-
00:07
Casus uit de praktijk: positief test THC 11
-
19:47
vB 9
-
15:02
Interpretatie reactie-energie 2
-
15 apr
Vreemde stank in huis 9
-
15 apr
Kunnen quantum Zonnecellen 190% quantum efficiënt zijn 1
-
15 apr
Python: sockets sluiten 4
-
14 apr
Een eenvoudige logische redenering waarom tijd niet kan bestaan 'daarbuiten' 6
-
14 apr
Hoe kun je op quantumwijze getallen vinden in een rij die kleiner zijn dan getal k 3
-
13 apr
Rotatie van het heelal 22
-
13 apr
Documentenverdwijnen uit onedrive 1
-
12 apr
Behoud van impulsmoment en energie 5
-
12 apr
INLOG STORING / TIPS 4
-
09 apr
[natuurkunde] systeemgrafen 1
-
05 apr
afbuiging licht rond zware objecten via grondbeginselen relativiteitstheorie 490
-
05 apr
Ongepaste reclame 179
-
04 apr
Gegevens wissen mobiel 6
-
04 apr
Geiger Muller telbuis 2
-
03 apr
Schroefdraad berekening 3
-
03 apr
Relatieve luchtvochtigheid 26
Nieuwsberichten
-
04 mar
Een nieuw soort magnetisme: altermagnetisme
-
31 okt
AI kan via stem diabetes vaststellen 11
-
21 okt
Einstein krijgt wéér gelijk 45
-
07 feb
witter dan wit 20
-
19 jun
irrigatie en de aardas
Limiet
-
- Berichten: 7.068
-
- Berichten: 7.556
Re: Limiet
\(\lim_{n \to\infty} \left( \frac{n^n}{n!} \right) ^{1/n} =\lim_{n\to\infty}\exp\log\left( \frac{n^n}{n!} \right) ^{1/n}=\lim_{n\to\infty}\exp\left(\frac{1}{n}\log\left( \frac{n^n}{n!} \right)\right)=\exp\left(\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{n}\log\left( \frac{n^n}{n!} \right)\right)\right)=\exp(1)=e\)
maar dan moet je eerst weten hoe je berekent dat \(\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{n}\log\left( \frac{n^n}{n!} \right)\right)=1\)
, en daar zul je vermoedelijk weer Stirling voor nodig hebben 
Never express yourself more clearly than you think.
- Niels Bohr -
- Niels Bohr -
-
- Berichten: 4.246
Re: Limiet
Ik kom op
\( \lim_{n \rightarrow \infty} \left( \frac{n^n}{n!} \right) ^{1/n} = \lim_{n \rightarrow \infty} (\sqrt{2 \pi n})^n e \)
Wat moet je dan doen?
Quitters never win and winners never quit.
-
- Berichten: 6.905
Re: Limiet
Via dat trukje met de ...
Het vel van de beer kunnen verkopen vraagt moeite tenzij deze dood voor je neervalt. Die kans is echter klein dus moeten we zelf moeite doen.
-
- Berichten: 7.556
Re: Limiet
Lijkt me niet, want dat gaat evident naar oneindigIk kom op\( \lim_{n \rightarrow \infty} \left( \frac{n^n}{n!} \right) ^{1/n} = \lim_{n \rightarrow \infty} (\sqrt{2 \pi n})^n e \)
Ergens een n en 1/n omgewisseld?Never express yourself more clearly than you think.
- Niels Bohr -
- Niels Bohr -
-
- Berichten: 4.246
Re: Limiet
Inderdaad het moet zijn:Lijkt me niet, want dat gaat evident naar oneindig
\( \lim_{n \rightarrow \infty} \left( \frac{n^n}{n!} \right) ^{1/n} = \lim_{n \rightarrow \infty} (\sqrt{2 \pi n})^{1/n} e \)
Quitters never win and winners never quit.
-
- Berichten: 7.556
Re: Limiet
Volgens mij moet dat wortelgeval in de noemer staan, maar goed dat maakt voor de limiet niet uit (0=-0).
Je hebt dus
Je hebt dus
\(e\sqrt{2\pi n}^{1/n}=e(2\pi n)^\frac{1}{2n}=e\exp\left(\log(2\pi n)^\frac{1}{2n}\right)=e\exp\left(\frac{1}{2n}\log(\pi 2n)\right)\to e\exp(0)=e\)
voor \(n\to\infty\)
Never express yourself more clearly than you think.
- Niels Bohr -
- Niels Bohr -
-
- Berichten: 581
Re: Limiet
Beste Phys,
Ik ken Stirling's benadering:
Ik ken Stirling's benadering:
\(n!\approx\sqrt{2\pi n}\cdot \left( \frac{n}{e} \right)^n\)
Maar ik ben niet mee waarom \( \left( \frac{n^n}{n!} \right) ^{1/n} = (\sqrt{2 \pi n})^{1/n} e \)
kan je mij hier even op weg zetten?---WAF!---
-
- Berichten: 6.905
Re: Limiet
\(I=\lim_{n \rightarrow \infty} (\sqrt{2 \pi n})^{1/n} e \)
dan is \(\ln I=\lim_{n \rightarrow \infty} \ln \left \{ (\sqrt{2 \pi n})^{1/n} e \right\}\)
nu kan je vereenvoudigen en verder rekenen.Het vel van de beer kunnen verkopen vraagt moeite tenzij deze dood voor je neervalt. Die kans is echter klein dus moeten we zelf moeite doen.
-
- Berichten: 7.556
Re: Limiet
Zoals ik al zei, volgens mij moet dat wortelgeval in de noemer komen te staan:Westy schreef:Beste Phys,
Ik ken Stirling's benadering:\(n!\approx\sqrt{2\pi n}\cdot \left( \frac{n}{e} \right)^n\)Maar ik ben niet mee waarom
\( \left( \frac{n^n}{n!} \right) ^{1/n} = (\sqrt{2 \pi n})^{1/n} e \)kan je mij hier even op weg zetten?
\(\left( \frac{n^n}{n!} \right) ^{1/n}=\frac{n}{(n!)^{1/n}}=\frac{n}{\left((2\pi n)^{\frac{1}{2}}\cdot\left(\frac{n}{e}\right)^n\right)^{1/n}}=\frac{n}{(2\pi n)^{\frac{1}{2n}}\cdot\frac{n}{e}}=\frac{e}{(2\pi n)^{\frac{1}{2n}}}=\frac{e}{\sqrt{2\pi n}^{1/n}}\)
Never express yourself more clearly than you think.
- Niels Bohr -
- Niels Bohr -
-
- Berichten: 581
Re: Limiet
Ik had jouw post nog niet gezien toen ik de vraag stelde...Zoals ik al zei, volgens mij moet dat wortelgeval in de noemer komen te staan:
Maar zo klopt alles inderdaad.
---WAF!---
-
- Berichten: 7.556
Re: Limiet
het staat er onvriendelijker ("zoals ik al zei") dan ik bedoeldeIk had jouw post nog niet gezien toen ik de vraag stelde...
Maar voor de limiet maakt het dus niets uit, want je krijgt dan
\(-\frac{1}{2n}\log(\pi 2n)\to 0\)
voor \(n\to\infty\)
, het minteken heeft geen invloed.Never express yourself more clearly than you think.
- Niels Bohr -
- Niels Bohr -
-
- Berichten: 581
Re: Limiet
Aldus?
\(\lim_{n \rightarrow \infty} -\frac{\log(\pi 2n)}{2n} = \lim_{n \rightarrow \infty} -\frac{1/n}{2} = 0 \)
(met l'Hopital)---WAF!---
-
- Berichten: 7.556
Re: Limiet
Wat bedoel je? De limiet is nul, dat zei ik toch ook? Of bedoel je of dit een correcte berekening is?Aldus?
In ieder geval, met de 'exp-log'-truc wordt de limiet van de oospronkelijke opgave gelijk aan e, zoals hier.
Never express yourself more clearly than you think.
- Niels Bohr -
- Niels Bohr -
