Primitieve van cosinus

Moderators: dirkwb, Xilvo

Reageer

Bericht 12-10-'08, 02:38

Lapzwans

Gebruikersavatar
Berichten: 145

Primitieve van cosinus

Zie onderstaande uitwerking:

Afbeelding

Twee vraagjes hierover.

1) Hoe can die cos(x)dx in de middelste vergelijking zomaar verdwijnen en d(sin(x) worden?

2) Die
\(-\frac{2}{3}\sin^3{x}\)
en
\(\frac{1}{5}\sin^5{x}\)
in de uitkomst begrijp ik, maar waar komt die
\(\sin{x}\)
vandaan? Komt dat omdat je nu in plaats van naar x integreert, naar sin(x) integreert?
Omhoog

Bericht 12-10-'08, 04:14

Phys

Gebruikersavatar
Berichten: 7.556

Re: Primitieve van cosinus

2) Die
\(-\frac{2}{3}\sin^3{x}\)
en
\(\frac{1}{5}\sin^5{x}\)
in de uitkomst begrijp ik, maar waar komt die
\(\sin{x}\)
vandaan? Komt dat omdat je nu in plaats van naar x integreert, naar sin(x) integreert?
Als je
\(-\frac{2}{3}\sin^3{x}\)
en
\(\frac{1}{5}\sin^5{x}\)
begrijpt, dán ook de
\(\sin{x}\)
.

Als je het niet direct ziet, en dat is ook het antwoord op vraag 1, is dit wellicht inzichtelijker: substitutie
\(y=\sin x\to dy=\cos xdx\)
dus
\(\int(1-2\sin^2 x+\sin^4x)\cos x dx=\int (1-2y^2+y^4)dy=y-\frac{2}{3}y^3+\frac{1}{5}y^5+c=y-\frac{2}{3}\sin^3x+\frac{1}{5}\sin^5x+c\)
In jouw uitwerking doen ze die substitutie 'impliciet', door geen y in te voeren, maar direct
\(\cos x dx\)
te vervangen door
\(d(\sin x)\)
Never express yourself more clearly than you think.

- Niels Bohr -
Omhoog

Bericht 12-10-'08, 04:45

Lapzwans

Gebruikersavatar
Berichten: 145

Re: Primitieve van cosinus

Dank voor je antwoord Phys. Die
\(-\frac{2}{3}\sin^3{x}\)
en
\(\frac{1}{5}\sin^5{x}\)
snapte ik wel (hoewel ik nu begin te twijfelen...), omdat dat gewoon de primitieven zijn van
\(-2\sin^2{x}\)
en
\(\sin^4{x}\)
. Maar ik snapte niet waarom de primitieve van 1 dan sin(x) werd, terwijl normaal dat normaal gesproken gewoon x is. Nu zie ik dat dat door die substitutie komt.
Omhoog

Bericht 12-10-'08, 14:44

Phys

Gebruikersavatar
Berichten: 7.556

Re: Primitieve van cosinus

(hoewel ik nu begin te twijfelen...),
En terecht! Het klopt namelijk niet, dat is belangrijk om in te zien.

Ken je de kettingregel? Bepaal dan eens de afgeleide van
\(\frac{1}{5}\sin^5{x}\)
. Volgens jouw redenering zou daar
\(\sin^4 x\)
uit moeten komen. Dat is niet zo.

Het komt dus door de substitutie, je integreert naar de 'variabele' sin(x) in plaats van naar x. En
\(\frac{d}{d(\sin x)}\left( \frac{1}{5}\sin^5{x}\right)=\sin^4 x\)
net zoals
\(\frac{d}{dy}\left( \frac{1}{5}y^5\right)=y^4\)
Nu zie ik dat dat door die substitutie komt.
Gelukkig :D Maar zorg dat je bovenstaande begrijpt!
Never express yourself more clearly than you think.

- Niels Bohr -
Omhoog

Bericht 12-10-'08, 21:43

Lapzwans

Gebruikersavatar
Berichten: 145

Re: Primitieve van cosinus

Je hebt gelijk, wat stom van me. De afgeleide van
\(\frac{1}{5}\sin^5{x}\)
is uiteraard
\(\sin^4{x}cos{x}\)
. Ik snap het nu helemaal, bedankt, nu hopen dat ik het onthoud :D
Omhoog
Reageer

Terug naar “Analyse en Calculus”