Springen naar inhoud

Kgv en ggd


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Phys

    Phys


  • >5k berichten
  • 7556 berichten
  • VIP

Geplaatst op 12 oktober 2008 - 21:14

Even iets simpels waar ik niet uit kom.
Beschouw het kleinste gemene veelvoud m=kgv(a,b) van twee getallen a,b. Uiteraard geldt a|m en b|m.
Bewijs dat voor een c met a|c en b|c (dus een gemeen veelvoud van a en b maar niet - per se - het kleinste), dan geldt m|c. Met andere woorden: bewijs dat het kleinste gemene veelvoud een deler is van een willekeurig gemene veelvoud.
Poging tot bewijs:
Er geldt LaTeX . Voor c geldt nu LaTeX voor integers x,y.
Te bewijzen: er geldt c=mk met k een integer.
Indien dit geldt: LaTeX dan LaTeX dus LaTeX

Ik zie echter (nog) niet in hoe ik kan aantonen dat deze k inderdaad een geheel getal is. Wie helpt me?
Never express yourself more clearly than you think.
- Niels Bohr -

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Heezen

    Heezen


  • >250 berichten
  • 481 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 12 oktober 2008 - 21:27

Hehe, volg jij toevallig ook Wat is Wiskunde? :D ,
Goed, ik had zelf dit bedacht:
We kunnen a en b zo schrijven
a=d*a'
b=d*b'
( d is dus een factor die in beide getallen voorkomt, bijv. als a=6, b=8, dan is d=2)/
We weten dat a en b m deelt, en ook dat a en b c deelt, en m OOK c moet delen.
We kunnen dus zeggen dat :
m=d*a'*b'*f ( Dus deelbaar door a en b)
c=d*a'*b'*g ( Deelbaar door a en b)

Als we willen dat m , c deelt, moet dus g/f=k .
Dit kan alleen ( voor alle integers k) als f=1.

Hmm, ik denk eerlijk gezegd dat het boek iets anders verwacht, maar ik snap niet wat er fout aan is..
Owja:
LaTeX
Wordt pas in een volgende opgave bewezen, dus dit zou je zowiezo niet mogen gebruiken.

Veranderd door Heezen, 12 oktober 2008 - 21:36

Procrastination is like masturbation; it's all fun and games till you realize you just fucked urself..
Correct me if I'm wrong.

#3

Phys

    Phys


  • >5k berichten
  • 7556 berichten
  • VIP

Geplaatst op 12 oktober 2008 - 21:42

We kunnen dus zeggen dat :
m=d*a'*b'*f ( Dus deelbaar door a en b)
c=d*a'*b'*g ( Deelbaar door a en b)

Dit volg ik even niet. Als m deelbaar is door a en b, geldt m=a.f1=d.a'.f1 en m=b.f2=d.b'.f2 (in jouw notatie).
Jij combineert dit tot één vergelijking m=d.a'.b'.f ? Hoe?

LaTeX


Wordt pas in een volgende opgave bewezen, dus dit zou je zowiezo niet mogen gebruiken.

Je moet bewijzen dat er een m is die voldoet aan ....
Als ik een bepaalde m kies en laat zien dat deze voldoet, is het bewijs correct (constructief bewijs).
Never express yourself more clearly than you think.
- Niels Bohr -

#4

Heezen

    Heezen


  • >250 berichten
  • 481 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 12 oktober 2008 - 21:48

Hmm, kijk;
het is duidelijk dat
m=a'*b'*d*f
( Reken maar na, het is deelbaar door a en door b, en dat waren de eisen die aan m werden gesteld, niet waar?)
deelbaar is door a'*d en ook door b'*d
als je het getal ( a'*d*b') vermenigvuldigt met een ander integer f, blijft het uiteraard deelbaar door a en b.
Wat is hieraan niet te volgen?
Procrastination is like masturbation; it's all fun and games till you realize you just fucked urself..
Correct me if I'm wrong.

#5

Phys

    Phys


  • >5k berichten
  • 7556 berichten
  • VIP

Geplaatst op 12 oktober 2008 - 22:02

Natuurlijk volg ik wel dat m=a'*b'*d*f zowel deelbaar is door a'.d als door b'.d, maar volgens mij is dat wel een erg specifieke keuze. Als ik zeg "m is deelbaar door 3", kun je wel beweren "m=6k" (want dit is deelbaar door 3), maar dat is een specifiekere keuze dan zeggen "m=3k". Dat laatste is algemeen (3,6,9,12,...), terwijl je met de eerste keuze (6,12,18,24) mogelijkheden over het hoofd ziet c.q. uitsluit (namelijk 3,9,15,...).
Wat ik dus bedoel: is jouw schrijfwijze m=a'*b'*d*f wel algemeen?
Never express yourself more clearly than you think.
- Niels Bohr -

#6

dirkwb

    dirkwb


  • >1k berichten
  • 4172 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 13 oktober 2008 - 19:22

Merk op dat ggd(a,b) = ka +bl met k en l gehele getallen.

Stel dat

LaTeX
LaTeX

LaTeX


ofwel

LaTeX
Quitters never win and winners never quit.

#7

Phys

    Phys


  • >5k berichten
  • 7556 berichten
  • VIP

Geplaatst op 13 oktober 2008 - 19:34

:D

Ik had zelf inmiddels iets vergelijkbaars gevonden m.b.v. dit en dit
Never express yourself more clearly than you think.
- Niels Bohr -





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures