Het bewijs dat dit niet mogelijk is, is (helaas) te moeilijk om zomaar even uit te leggen.
Wat het betekent is eenvoudiger te snappen: je kan geen functie bouwen (met de basisbewerkingen en basisfuncties, door deze in een eindig aantal stappen samen te stellen) die als afgeleide e^(x²) heeft.
Andere voorbeelden: x^x, sin(x)/x, cos(x)/x, 1/ln(x), ...
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Er is volgens mij niet echt een 'reden' waarom dit niet kan (?). Deze functie heeft nu eenmaal geen primitieve die uit te drukken is in elementaire functies.
De errorfunctie is zéker niet de enige. Let trouwens op, 'integreerbaar' is iets anders dan 'geen primitieve hebben (die in elementaire functies is uit te drukken)'. Integreerbaar betekent dat de bepaalde integraal van die functie bestaat, de integraal mag bijv. niet divergeren.
\(\int_a^b e^{-t^2}dt\)
bestaat voor alle a en b; het is alleen niet 'met de hand' te berekenen.
Er zijn oneindig veel functies te bedenken die geen ('gewone') primitieve hebben. Bijv.
\(f(x)=\sin(x^2)\)
Never express yourself more clearly than you think.
als je een integraal niet kunt schrijven in primitieve functies (zoals primitieve van 1, is dus x; dat noem ik dan een primitieve functie, dus die simpele =)) dan kun je er geen primitieve van maken.
To invent something you need to see what everyone sees, do what everybody does and think that nobody has though of.
Nee, van sommige functies (f) kunnen we geen primitieve (F) schrijven als eindige samenstelling van elementaire functies. Dat is niet hetzelfde als "de primitieve bestaat niet".
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Alle functies waarvan we de primitieve niet kunnen uitdrukken in een eindige samenstelling van elementaire functies, zijn niet te primitiveren (maar nogmaals, dat is eigenlijk gewoon een tautologie, mits je 'primitiveren' definieert als "uitdrukken in een eindige samenstelling van elementaire functies").
Never express yourself more clearly than you think.
