Springen naar inhoud

Afgeleide van exotische functies


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Vladimir Lenin

    Vladimir Lenin


  • >250 berichten
  • 829 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 15 oktober 2008 - 22:51

De afgeleide van heel wat functies kent uiteraard iedereen, maar ik heb een nagedacht over enkele andere waarop ik nog steeds het antwoord schuldig moet blijven.

Toegegeven de Sign-functie is gemakkelijk:
LaTeX
als je de sign functie immers bekijkt zie je dat de functie steeds horizontaal loopt en alleen verspringt in het punt 0 waar de functie dan ook niet afleidbaar is.

Maar ik vroeg me af hoe je de afgeleide berekent van:
LaTeX
LaTeX

en volgens mij kan je nog tientallen functies bedenken waarbij de afgeleide toch niet zomaar in een standaardboek wiskunde staat. Bij mij in ieder geval niet in "Inleiding tot de Hogere Wiskunde" of "Wiskundig Redeneren"

Veranderd door Vladimir Lenin, 15 oktober 2008 - 22:53

"Als je niet leeft zoals je denkt, zul je snel gaan denken zoals je leeft."
--Vladimir Lenin-- (Владимир Ильич Ульянов)

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Phys

    Phys


  • >5k berichten
  • 7556 berichten
  • VIP

Geplaatst op 15 oktober 2008 - 23:05

Let op: de functies waar jij het over hebt "De afgeleide van heel wat functies kent uiteraard iedereen" zijn allemaal continue (differentieerbare) functies van LaTeX naar LaTeX . Dit zijn 'gladde', 'mooie' functies die zich overal netjes gedragen.

De functies waar jij het nu over hebt, zijn dat helemaal niet. Bijv. de sign-functie is discontinu in x=0, en is daar dus ook niet differentieerbaar. Je kunt dus niet zomaar zeggen LaTeX , dat geldt alleen voor x ongelijk aan 0.

En de ggd en kgv zijn alleen maar gedefinieerd voor gehele getallen en zijn dus helemaal een verhaal apart! Het zijn eigenlijk niet eens functies te noemen. Wat denk jij bijv. van ggd(x,x^2)? Dat heef toch geen 'algemene' betekenis?
Never express yourself more clearly than you think.
- Niels Bohr -

#3

Vladimir Lenin

    Vladimir Lenin


  • >250 berichten
  • 829 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 15 oktober 2008 - 23:12

Let op: de functies waar jij het over hebt "De afgeleide van heel wat functies kent uiteraard iedereen" zijn allemaal continue (differentieerbare) functies van LaTeX

naar LaTeX . Dit zijn 'gladde', 'mooie' functies die zich overal netjes gedragen.

De functies waar jij het nu over hebt, zijn dat helemaal niet. Bijv. de sign-functie is discontinu in x=0, en is daar dus ook niet differentieerbaar. Je kunt dus niet zomaar zeggen LaTeX , dat geldt alleen voor x ongelijk aan 0.

En de ggd en kgv zijn alleen maar gedefinieerd voor gehele getallen en zijn dus helemaal een verhaal apart! Het zijn eigenlijk niet eens functies te noemen. Wat denk jij bijv. van ggd(x,x^2)? Dat heef toch geen 'algemene' betekenis?

Ik heb al functies gezien waarin ze staan, uiteraard is het dan van LaTeX

verder heb ik al aangegeven dat de sign-functie niet afleidbaar is in 0. Mijn vraag is dan ook theoretisch je hebt bijvoorbeeld ook de floor, ceiling en round functie. Deze gaan ook in schokken vooruit, maar die heb ik zelfs al heel vaak in functies zien verschijnen. Met andere woorden ik ben niet echt geÔntresseerd in het eventuele nut van de afgeleiden, maar hierdoor wil ik mijn eigen, en mogelijk het algemene afgeleide-begrip uitbreiden

Veranderd door Vladimir Lenin, 15 oktober 2008 - 23:14

"Als je niet leeft zoals je denkt, zul je snel gaan denken zoals je leeft."
--Vladimir Lenin-- (Владимир Ильич Ульянов)

#4

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 15 oktober 2008 - 23:17

De floor- en ceilingfunctie zijn niet continu en in die punten dus zeker niet afleidbaar.
Waar de functie wel afleidbaar is, is de afgeleide steeds 0.
Dat lijken me net weinig spectaculaire functies om af te leiden...
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#5

Vladimir Lenin

    Vladimir Lenin


  • >250 berichten
  • 829 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 15 oktober 2008 - 23:23

Uiteraard, maar het was dan ook niet de bedoeling om deze af te leiden, maar om de ggd en het kgv en bijvoorbeeld x! of dus f(x)! af te leiden, diegenen die niet in een normaal handboek staan, en diegenen die je ook niet zomaar uit een grafiek kan afleiden want anders had ik het klusje zelf wel geklaard.

Nog een vraagje, hoe zet je in LaTeX die tekentjes voor reŽele, natuurlijke, complexe,... getallen, ik heb mij al suf gezocht maar ik vind ze precies niet.

Veranderd door Vladimir Lenin, 15 oktober 2008 - 23:27

"Als je niet leeft zoals je denkt, zul je snel gaan denken zoals je leeft."
--Vladimir Lenin-- (Владимир Ильич Ульянов)

#6

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 15 oktober 2008 - 23:27

Functies moeten op z'n minst continu zijn om te kunnen afleiden - dat zijn kgv en ggd toch niet?
Ofwel heb je een of andere definitie in je hoofd waar dat wel kan, maar wat zijn die definities dan?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#7

Phys

    Phys


  • >5k berichten
  • 7556 berichten
  • VIP

Geplaatst op 15 oktober 2008 - 23:28

Ik heb al functies gezien waarin ze staan, uiteraard is het dan van LaTeX

Ik vraag me af hoe je continuÔteit en differentieerbaarheid wilt definiŽren bij functies van LaTeX .
Dit zijn discrete punten, discrete functiewaarden, hoe kun je dan het limietbegrip definiŽren?

verder heb ik al aangegeven dat de sign-functie niet afleidbaar is in 0.

Excuses, daar las ik overheen :D
Never express yourself more clearly than you think.
- Niels Bohr -

#8

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 15 oktober 2008 - 23:28

Nog een vraagje, hoe zet je in LaTeX die tekentjes voor reŽele, natuurlijke, complexe,... getallen, ik heb mij al suf gezocht maar ik vind ze precies niet.

Hier is dat (klik voor de code):

LaTeX

Maar in normale LaTeX gaat dat via het mathbb pakket, dus \mathbb{R},... .
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#9

Phys

    Phys


  • >5k berichten
  • 7556 berichten
  • VIP

Geplaatst op 15 oktober 2008 - 23:28

Nog een vraagje, hoe zet je in LaTeX die tekentjes voor reŽele, natuurlijke, complexe,... getallen, ik heb mij al suf gezocht maar ik vind ze precies niet.

\rr, \nn, \zz:
LaTeX
Never express yourself more clearly than you think.
- Niels Bohr -

#10

Vladimir Lenin

    Vladimir Lenin


  • >250 berichten
  • 829 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 15 oktober 2008 - 23:31

Nou ik dacht het gemiddelde te nemen tussen de rico van de lijn die het punt met het vorige verbind, en de lijn die het punt met het volgende verbint. Dat lijkt mij een goeie benadering.

Waarom: er bestaan programma's die wanneer je enkel punten ingeeft, een soepele functie door de punten heen tekent die volgens hetzelfde principe werkt. Op die manier zouden we het afgeleidebegrip kunnen uitbreiden naar natuurlijke getallen. Bovendien beantwoord het zo wel aan het limiet-begrip, dat wil alleen maar zeggen dat je het vorige punt gebruikt, en het volgende punt, maar aangezien je in een reŽel veld werkt, ligt dit vorige punt dus op een afstand verwijdert die 0 benadert

Merci voor de LaTeX-tekentjes, dien je hiervoor in LaTeX zelf een package aan te spreken? Oeps vorige post niet gezien

Veranderd door Vladimir Lenin, 15 oktober 2008 - 23:38

"Als je niet leeft zoals je denkt, zul je snel gaan denken zoals je leeft."
--Vladimir Lenin-- (Владимир Ильич Ульянов)

#11

Vladimir Lenin

    Vladimir Lenin


  • >250 berichten
  • 829 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 16 oktober 2008 - 19:59

Bovendien is het eigenlijk de defenitie van limit, je kan bijvoorbeeld ook een afgeleide van een functie berekenen van LaTeX
dus eigenlijk zitten tussen het eerste punt links in het reŽele vlak en het punt in kwestie een oneindig aantal complexe getallen die er niets toe doen. Dus is voor mij de afgeleide in een punt n:
LaTeX
"Als je niet leeft zoals je denkt, zul je snel gaan denken zoals je leeft."
--Vladimir Lenin-- (Владимир Ильич Ульянов)

#12

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 16 oktober 2008 - 20:07

Je verhaal met 8-) ontgaat me een beetje, de complexe afgeleide zit dan ook wat anders in elkaar dan de reŽle afgeleide...
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#13

Klintersaas

    Klintersaas


  • >5k berichten
  • 8614 berichten
  • VIP

Geplaatst op 16 oktober 2008 - 20:07

Bovendien is het eigenlijk de defenitie van limit, je kan bijvoorbeeld ook een afgeleide van een functie berekenen van LaTeX

Dat lijkt mij een vreemde definitie. Een afgeleide is namelijk een limiet en hier staat er geen.

Geloof niet alles wat je leest.

Heb jij verstand van PHP? Word Technicus en help mee om Wetenschapsforum nog beter te maken!


#14

Phys

    Phys


  • >5k berichten
  • 7556 berichten
  • VIP

Geplaatst op 16 oktober 2008 - 20:18

Dat lijkt mij een vreemde definitie. Een afgeleide is namelijk een limiet en hier staat er geen.

Je kunt het natuurlijk vreemd vinden, maar Vladimir Lenin probeert het begrip 'afgeleide' uit te breiden naar functies van LaTeX naar LaTeX . Jouw argument dat een afgeleide gedefinieerd is als een limiet, gaat juist over de afgeleide op LaTeX (of LaTeX ). Zoals gezegd:

Nou ik dacht het gemiddelde te nemen tussen de rico van de lijn die het punt met het vorige verbind, en de lijn die het punt met het volgende verbint. Dat lijkt mij een goeie benadering.

Never express yourself more clearly than you think.
- Niels Bohr -

#15

Klintersaas

    Klintersaas


  • >5k berichten
  • 8614 berichten
  • VIP

Geplaatst op 16 oktober 2008 - 20:24

Nu begrijp ik waar hij naartoe wilt. Als je het zo bekijkt, is het inderdaad al wat logischer.

Geloof niet alles wat je leest.

Heb jij verstand van PHP? Word Technicus en help mee om Wetenschapsforum nog beter te maken!






0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures